مبرهنة غاوسمبرهنة
في الرياضيات، هي مبرهنة التباعد، صيغت مستقلةً على يد كارل فريدريش غاوس (في سياق الجاذبية) وميخائيل أوستروغرادسكي (في صورة أعمّ) وجورج غرين. وفي الفيزياء غدت أساسًا لقانون غاوس في الكهرباء (أحد معادلات ماكسويل) وفي الجاذبية. الفكرة: مجموع «التباعد» للمجال داخل حجمٍ ما يساوي التدفّق عبر السطح الذي يحدّه. وبالنسبة للكهرباء: ∮ E·dA = Q/ε₀ – الشحنة تخلق مجالًا، وتدفّقه عبر أيّ سطح مغلق يحيط بها ثابت.
كيف يعمل
مثال: حول كرة مشحونة، يتناقص المجال الكهربائي تناقصًا يتبع 1/r²، ويظلّ التدفّق عبر أيّ كرة تحيط بها ثابتًا. فإن لم تكن داخل الكرة أيّ شحنة، فإنّ ما يدخل من خطوط المجال يساوي ما يخرج، فيكون التدفّق صفرًا. وعلى هذا المبدأ يعمل مانع الصواعق: يُنشئ الرأس المدبَّب مجالًا قويًّا تنساب منه الشحنة الزائدة فتمنع ضربة الصاعقة.
💡 تظلّ المبرهنة تعمل حتّى في الزمكان المنحني للنسبية العامة، حيث تدخل في معادلات أينشتاين للجاذبية.
\oint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \int_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) dV
∮_{∂V}: التكامل على السطح المغلق ∂V الذي يحدّ الحجم V؛ F: الحقل المتّجهي؛ dS: عنصر السطح المتّجهي (يتّجه للخارج)؛ ∇·F: تباعد الحقل F؛ dV: عنصر الحجم.
\oint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}
∮_{∂V}: التكامل على السطح المغلق؛ E: شدّة المجال الكهربائي؛ dA: متّجه عنصر المساحة؛ Q_enc: الشحنة الكهربائية المحتجزة داخل السطح؛ ε₀: الثابت الكهربائي (ε₀ ≈ 8.8541878188×10⁻¹² فاراد/م).