مبرهنة ستوكسمبرهنة
بعد أن صاغها جورج ستوكس في منتصف القرن التاسع عشر لديناميك الموائع، سرعان ما أصبحت هذه الصيغة الشهيرة أداة عالمية في الفيزياء. الصيغة الكلاسيكية: دوران متجه على مسار مغلق يساوي تدفق دَوَرانه عبر أي سطح مشدود على المسار: ∮_C F·dr = ∬_S (∇×F)·dS. النسخة المعممة - مبرهنة ستوكس الكبرى - تنص على أن تكامل الصيغة التفاضلية على حافة متعدد شعب يساوي تكامل مشتقتها الخارجية على كامل متعدد الشعب. وتوحد هذه الصيغة بأناقة حالات خاصة: مبرهنة غرين في المستوي، ومبرهنة غاوس-أوستروغرادسكي في الفضاء، ومبرهنة كلفن-ستوكس نفسها.
كيف يعمل
قوة الرفع للجناح هي نتيجة مباشرة لدوران الهواء حول المقطع؛ وتربط مبرهنة ستوكس ذلك بالدوامات المتساقطة من الحافة الخلفية. وفي الطباخة الحثية، يولد الحقل المغناطيسي المتغير حقلاً كهربائياً دوامياً في الوعاء المعدني، فتسخنه التيارات - وهذا هو قانون فاراداي بصيغة تكاملية، وهو مكافئ لمبرهنة ستوكس.
💡 أكثر صياغة موجزة للمبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل ∫_a^b f'(x)dx = f(b)–f(a) هي كذلك حالة خاصة من مبرهنة ستوكس العامة، ولكن من أجل قطعة مستقيمة أحادية البعد.
\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_{S} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}
∮_∂S: التكامل على مسار مغلق ∂S؛ F: حقل متجه؛ dr: عنصر المسار؛ ∬_S: التكامل على سطح S؛ ∇×F: دوران F؛ dS: عنصر مساحة موجه وفق الناظم السطحي
\int_{M} d\omega = \int_{\partial M} \omega
∫_M: التكامل على متعدد الشعب M؛ dω: المشتقة الخارجية للصيغة من الدرجة k ω؛ ∫_∂M: التكامل على الحافة ∂M. ويُفسَّر الطرف الأيمن بأنه 'تدفق عبر الحافة'