nudos

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La teoría de nudos clasifica los encajes de la circunferencia en el espacio tridimensional bajo isotopía (deformación continua sin autointersecciones). El problema clave es encontrar invariantes que distingan nudos no equivalentes. Entre ellos están el polinomio de Alexander (1923) y el polinomio de Jones (1984), que le valió a su autor la Medalla Fields. Los nudos aparecen naturalmente en física: como configuraciones estables de campos (por ejemplo, líneas de fuerza magnéticas o cuerdas cósmicas), y en sistemas (2+1)-dimensionales como líneas de mundo de anyones.

History

La teoría de nudos surgió en el siglo XIX, cuando el físico Lord Kelvin propuso que los átomos eran nudos de vórtice en el éter. El matemático Peter Guthrie Tait comenzó a elaborar tablas de nudos. Más tarde, Henri Poincaré dio una definición topológica rigurosa sobre la que se construye la ciencia moderna.

How it works

Para distinguir un nudo de otro, se inventan invariantes: características que no cambian al doblar. Por ejemplo, el número mínimo de cruces: el trébol tiene tres, el ocho tiene cuatro. Un invariante es como un número de pasaporte único del nudo.

💡 Existe un nudo que no se puede desanudar, pero si se copia su imagen especular y se unen, se aniquilan como una partícula con su antipartícula.

Un nudo en matemáticas es una clase de equivalencia de encajes de la circunferencia S¹ en el espacio euclidiano tridimensional R³ (o la esfera S³) respecto a isotopía ambiente. El nudo trivial es la circunferencia no anudada. Los nudos que coinciden mediante transformaciones se llaman equivalentes. La clasificación de nudos es uno de los problemas centrales de la topología de dimensiones bajas. La teoría de nudos está estrechamente relacionada con las trenzas, los enlaces y las variedades tridimensionales, y desempeña un papel en la teoría cuántica de campos, la mecánica estadística y la computación cuántica (los ordenadores cuánticos topológicos utilizan anyones, cuyas líneas de mundo forman nudos).

History

El nacimiento de la teoría de nudos está ligado a la hipótesis de William Thomson (Lord Kelvin) en 1867, quien propuso que los elementos químicos eran nudos en el éter. Peter Guthrie Tait comenzó a elaborar tablas de nudos, clasificando todos los nudos hasta 7 cruces. Con el descubrimiento del electrón y el abandono del éter, la teoría de nudos pasó a un segundo plano, pero a principios del siglo XX, gracias a los esfuerzos de Henri Poincaré y otros topólogos, obtuvo una base matemática rigurosa. En la segunda mitad del siglo XX hubo un renacimiento debido al descubrimiento del polinomio de Jones (Vaughan Jones, 1984) y las conexiones con la física cuántica, con los trabajos de Edward Witten y otros.

How it works

Para clasificar nudos se utilizan invariantes, cantidades que no cambian bajo isotopías. El más simple es el número de cruces en un diagrama de nudo. Otros más complejos incluyen el polinomio de Alexander, el polinomio de Jones (relacionado con las representaciones del grupo de trenzas e invariantes cuánticos) y los invariantes de Vassiliev. El polinomio de Jones se calcula mediante relaciones de madeja: se define recursivamente a través de la relación entre diagramas de nudo que difieren solo en una pequeña vecindad de un cruce. En física, los nudos topológicos aparecen como soluciones estables en teorías de campos; por ejemplo, en las ecuaciones de Maxwell existen nudos electromagnéticos, cuya estabilidad está garantizada por el invariante topológico de Hopf. Las líneas de mundo de partículas en sistemas (2+1)-dimensionales pueden formar nudos, dando lugar a estadísticas fraccionarias.

t^{-1} V(L_+) - t V(L_-) = (t^{1/2} - t^{-1/2}) V(L_0)

V es el polinomio de Jones, L_+, L_-, L_0 son diagramas de nudo que difieren en una pequeña región de un cruce (cruce positivo, negativo, alisado), t es una variable formal.

Open problems & fun facts

Clasificación completa de nudos: no existe un conjunto completo de invariantes que distinga dos nudos no equivalentes cualesquiera.; Relación de los invariantes cuánticos con la gravedad cuántica tridimensional.; Cálculo eficiente de invariantes para nudos complejos, incluyendo cuerdas cósmicas y cromodinámicas.

💡 El polinomio de Jones permite distinguir los tréboles izquierdo y derecho, algo que no es posible con el polinomio de Alexander.

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