L'eau se transforme en glace à zéro degré — brusquement, sans états intermédiaires. Quelque chose de similaire se produit avec la complexité lorsque l'on prend un état quantique aléatoire d'un système entier et que l'on ne regarde qu'une partie de celui-ci. Tant que cette partie occupe moins de la moitié du système, sa complexité croît régulièrement. Mais dès que la proportion dépasse 50 %, un saut se produit.

Cette transition a été nommée « de type Page » — en référence à la courbe de Page pour l'information dans les trous noirs. Les auteurs de l'étude vont plus loin et expliquent la cause. Avant la moitié, la complexité est dictée par le spectre des énergies (l'ensemble des niveaux disponibles), et après, par le choix spécifique de la base, c'est-à-dire la manière dont nous décrivons les états. Dans une petite ville, l'ordre serait déterminé par des lois générales, mais dans une grande, s'ajoute aussi la question de savoir qui habite précisément chaque maison.

Ensuite, l'idée a été appliquée à un trou noir en évaporation dans un espace anti-de Sitter, couplé à un bain thermique. À l'aide d'un modèle jouet — un circuit quantique avec une évolution aléatoire — les physiciens ont montré que la complexité du rayonnement subit également une transition brutale. Dans la description holographique, cette transition est liée à l'apparition d'une « île » — une région à l'intérieur du trou noir qui commence soudainement à contribuer au volume.

Ainsi se résout le paradoxe apparent : la complexité du rayonnement n'est pas perdue, mais se réorganise lorsque le trou noir vieillit. Et encore une fois, la moitié s'avère être la frontière — comme pour l'eau à zéro degré.