Мячик падает на пол, на мгновение сплющивается и взлетает обратно. Сколько энергии он вернёт, зависит от материала: резина отскочит почти на ту же высоту, а кусок глины просто шлёпнется и останется лежать.
Раньше инженеры умели точно считать такой отскок лишь для двух идеальных случаев: когда мячик ведёт себя как пружинка (сила сжатия растёт пропорционально сдавливанию) или как стальной шар Герца (сила растёт быстрее). Для всего многообразия реальных материалов — поролона, пластика, живых тканей — приходилось подбирать приближения.
Новая работа даёт общий рецепт. Авторы заметили: если перерисовать график «скорость мячика в зависимости от сжатия» в особых осях, то любой материал превращается в обычную пружинку с трением. Нужно лишь правильно подобрать коэффициент трения в этой воображаемой системе. Тогда отскок вычисляется одной короткой формулой, в которую входят только две величины: жёсткость материала и его «липучесть» (потери энергии при сжатии).
Практическая польза прямая: компьютерные игры и инженерные симуляторы смогут быстрее и точнее просчитывать столкновения. Достаточно один раз измерить две константы материала, и машина будет честно предсказывать отскок при любой скорости.
как её написали авторы, на английском arXiv:2603.27764
We present an exact phase-space analytical treatment of the power-law damped contact oscillator governed by $$m\ddot{\delta} + \alpha\sqrt{mk_H}\,\delta^{(p-1)/2}\dot{\delta} + k_H\delta^p = 0$$, valid for all force-law exponents $$p \geq 1$$ and all initial impact velocities $$v_0$$. The central result is the transformation $$\delta = Ax^{2/(p+1)}$$, where $$A = [(p+1)/2]^{1/(p+1)}$$, which maps the nonlinear phase-space equation $$v\,dv/d\delta + \dots = 0$$ exactly onto a linear spring-dashpot (LSD) system with effective damping ratio $$\alpha_\text{eff} = \frac{\alpha}{\sqrt{2(p+1)}}$$. The phase portrait $$v(\delta)$$, coefficient of restitution $$e$$, and maximum penetration $$\delta_\text{max}$$ follow in closed form. The physical time-domain solution $$(\delta(t), v(t))$$ is obtained parametrically via a single quadrature, which evaluates analytically for $$p=1$$ and at negligible numerical cost for all other $$p$$. We prove that $$e$$ is exactly independent of $$v_0$$ for all $$p \geq 1$$ and derive the universal calibration formula: $$\alpha = \sqrt{2(p+1)}\cdot\frac{-\ln e}{\sqrt{\pi^2 + \ln^2 e}}$$. This generalises the known results for $$p=1$$ (linear spring-dashpot) and $$p=3/2$$ (Hertz contact, Antypov and Elliott, 2011) to the entire power-law family. A closed-form estimate for the critical timestep of explicit time integration is also derived, exhibiting universal scaling with impact velocity and force-law exponent.
Если сжать резиновый мячик до половины его диаметра, сила сжатия для многих материалов растёт не линейно, а как квадрат сжатия. Поэтому общая формула использует необычную замену переменной — как будто мы смотрим на мир через лупу, которая выпрямляет кривые графики.