Камень падает в пруд — круги разбегаются и исчезают. Но в узком канале волна иногда собирается в горб и катится, не меняя формы, километр за километром. Такие упрямые одиночные волны называют солитонами. А если гребень не гладкий, а заострённый, как сжатая до предела пружина, — это пикон.

В жизни каналы не идеальны: где-то мельче, где-то течение быстрее. Математики взяли уравнение Камассы–Холма с переменными коэффициентами (vcCH) и добавили слабую дисперсию — свойство среды, заставляющее волны разных длин бежать с разной скоростью. Обычно это размазывает волну в кашу, но здесь малая дисперсия позволила искать решения, похожие на солитоны и пиконы, в виде аккуратных поправок. Главный фокус — выделить «сингулярную» часть, которая отвечает за остроту пика или горб солитона, и отделить её от плавного фона, общего для всех таких волн.

Авторы построили асимптотические ряды — как если бы собирали волну из деталей всё более тонкой подгонки — и доказали, насколько точны эти приближения. Для одиночной волны удалось выписать поправки любого порядка и подтвердить, что они имеют смысл в подходящих математических пространствах. Для двух взаимодействующих волн тоже намечен путь. В конце статьи — живые примеры с явными формулами и графиками: волны действительно держат форму, несмотря на переменчивую среду.