Математическая физика math-ph

В 1920-х годах британский метеоролог Гилберт Уокер, пытаясь предсказать муссоны в Индии, заметил странную связь: когда давление воздуха в восточной части Тихого океана растёт, в западной оно падает, и наоборот. Словно огромный воздушный маятник качается вдоль экватора.

Климатологи тридцать лет собирают осколки разбитой вазы. Каждая модель климата — свой осколок, и все они обещают разное потепление к 2100 году: от полутора до почти шести градусов. Разброс не уменьшается, сколько бы ни улучшали модели. Внутри этой вазы живёт океан, который сам по себе колеблется с периодами 7 и 14 лет, как маятник, который никто не толкает, но он не останавливается.

В большом концертном зале звук отражается от стен, и даже если стоять в углу, по эху можно угадать форму помещения. Примерно так же устроена задача, которую решают авторы: как по «эху» в данных, собранных лишь с части системы, восстановить её скрытые ритмы. В физике и климатологии часто бывает, что наблюдать все переменные невозможно, а доступен лишь временной ряд одной величины.

Оркестр играет симфонию климата. Каждая скрипка, каждый духовой инструмент ведёт свою партию — это моды Колмогорова, естественные ритмы системы. Внезапно в зал врывается удар грома: резкий скачок, как порыв ветра или ливень. Раньше мы умели слушать только плавное звучание, но не умели разбирать такие аккорды. В новой работе математики дописали партитуру.

В 1961 году Станислав Улам предложил простую модель: частица мечется между неподвижной стенкой и стенкой, которая колеблется по кусочно-линейному закону. Казалось бы, бильярд как бильярд. Но за этой простотой скрывался вопрос, который не давал покоя физикам десятилетиями: может ли частица разгоняться до бесконечности? Ответ оказался парадоксальным. В классической версии — почти никогда.

Сто лет назад квантовая механика подарила миру стройную картину: вращение частицы вокруг точки возможно лишь с определёнными порциями момента импульса — целыми числами, умноженными на постоянную Планка. Это правило казалось незыблемым, как закон тяготения, и выводилось из простых алгебраических соображений.

Два голоса, разделённые стеной, всё равно слышат друг друга — если стена тонкая, а голоса сильные. Примерно так устроены связанные оптические резонаторы: свет, запертый в одном микрорезонаторе, чувствует присутствие соседнего через свои резонансные состояния — собственные моды открытой системы с утечкой энергии.

Три тела, притягивающие друг друга по закону всемирного тяготения, — задача, перед которой математика пасует уже три столетия. После Пуанкаре стало ясно: общего решения не существует, а траектории хаотичны. Но внутри этого хаоса есть островки порядка — периодические орбиты, где движение повторяется.

Фрактал, похожий на бабочку, хранит в себе порядок, который не виден с первого взгляда. В квантовом мире одномерных квазикристаллов, описываемых моделью Комото, спектр энергий образует причудливую фигуру: бабочку Комото.

Физики сконструировали квантовый аналог музыкального инструмента, чьи «ноты» — квантованные энергетические уровни — совпадают с первыми значениями из набора, управляющего распределением простых чисел. Эти значения — мнимые части нулей дзета-функции Римана, математического объекта, неразрывно связанного с простыми числами.

Капните мёд на губку. Он лениво ползёт, обходя пустоты. Но если мёд станет менее вязким от нажатия, течение окажется хитрее. Жидкость с переменной вязкостью в неровном лабиринте пор — задача, не поддававшаяся расчётам. Авторы новой работы усреднили хаос микроканалов в простые уравнения.

Графы считаются изоморфными — структурно тождественными, — если у них совпадает «рельеф». Представьте две топографические карты с горами и долинами: даже при разной художественной прорисовке высоты и крутизна склонов могут быть геометрически теми же.

Вода в стакане успокаивается, если перестать её мешать. Масло в двигателе гасит вибрации. Кажется, вязкость — это всегда про затухание. Но в некоторых потоках всё наоборот: добавь трения — и волны начинают расти, как будто из ниоткуда. Физики нашли простое объяснение. У таких систем есть скрытый запас энергии, запертый особой симметрией — она называется PT-симметрией.

Уравнение диффузии — математический инструмент, описывающий, как частицы расползаются в пространстве, — долгое время рисовало парадоксальную картину: возмущение, словно круги на воде, мгновенно охватывает всю Вселенную. Это бросало вызов теории относительности, утверждающей, что ничто не может двигаться быстрее света.

Обычные часы на стене идут плавно, но квантовые часы — другое дело. Они тикают в случайные моменты, и каждый тик может быть разной длины. В среднем, если долго смотреть на такие часы, они покажут правильное время. Но в каждый отдельный момент их стрелка может прыгнуть вперёд на неожиданную величину.

Капля падает в стакан, и от поверхности отрывается крошечная струйка — тонкий фонтанчик, который на миг взлетает вверх. Примерно так же работает пузырёк, прилипший к стенке трубки, если трубку резко дёрнуть вниз. Вода вокруг пузырька устремляется внутрь, и из его верхушки выстреливает струя. Скорость этой струи зависит от формы пузырька — насколько он выгнут, как купол зонтика.

Сверхпроводник — это материал, который при очень низкой температуре проводит электричество без потерь: электроны движутся, не расталкиваясь, как толпа, идущая по идеально ровному коридору. Но стоит включить сильное магнитное поле, и внутри сверхпроводника появляются вихри — крошечные области, где сверхпроводимость исчезает.

Заряженная частица, закрученная магнитным полем, не молчит: она испускает свет. Такой свет называют синхротронным излучением, и он встречается везде — от далёких галактик до лабораторных ускорителей.

Два человека читают одну и ту же книгу, но один сначала переворачивает страницу, а потом смотрит на текст, а другой — наоборот. Казалось бы, результат один. Но в квантовом мире порядок действий меняет всё. В работе рассматриваются модели, которые выдают последовательности символов, как автомат, выдающий билеты.

Квантовая запутанность — явление, при котором состояния двух или более частиц оказываются взаимозависимыми, — напоминает поводок, связывающий эти частицы. Но длина этой привязи строго ограничена.

Бросок монеты кажется случайным, но на самом деле всё решает физика: сила броска, сопротивление воздуха, упругость поверхности. Если знать все детали, исход можно предсказать. Настоящая случайность живёт глубже — в квантовом мире. Там частица не имеет определённого состояния, пока её не измеришь, и результат измерения невозможно предугадать заранее.

Ветвящаяся сеть — как речная дельта или крона дерева — строится по принципу экономии. Классический закон, выведенный ещё в 1926 году, утверждал: диаметр материнского сосуда в кубе равен сумме кубов диаметров дочерних. Это правило красиво работало для идеальных трубок, но реальные артерии упорно давали другой показатель — около 2.7 вместо 3. Авторы новой работы нашли причину.

Лист графена толщиной в один атом — как идеально ровная скатерть, по которой катятся электронные шарики. Поставьте на пути этих шариков электрический барьер — и обычно они отскочат назад. Но в графене всё иначе: при некоторых условиях электроны проходят сквозь барьер, даже не заметив его, словно стена из тумана.

Чёрные дыры славятся характерным тёмным силуэтом на фоне яркого свечения. На самом деле это не тень, а сильно искривлённый свет, огибающий объект по кривой. Однако в космосе встречаются их двойники — сверхплотные тела без горизонта событий, которые тоже искажают свет, но по‑своему. По этим искажениям можно раскрыть обман.

Квантовый мир любит порядок, но реальность часто вносит беспорядок. В этой работе физики изучают одномерные цепочки спинов — крошечных магнитных стрелок, которые могут быть направлены вверх или вниз. Обычно топологические фазы (устойчивые состояния, защищённые симметрией) определяют для чистых состояний, где каждая стрелка точно известна.

Электрон в обычном проводе — как курьер, который несёт и посылку, и подпись получателя одновременно: его заряд и спин всегда вместе. Но если провод сделать толщиной в один атом, курьеру становится тесно. В такой одномерной трубе электроны не могут обгонять друг друга, и их коллективное поведение меняется до неузнаваемости.

Вода может быть льдом, жидкостью или паром. Физики называют такие состояния фазами. В теории у каждой фазы есть своя мера — способ описать, насколько она вероятна. Но не всякая мера, которую можно вообразить, встречается в природе. Одни фазы настоящие, а другие — лишь математическая иллюзия. Учёные нашли простой признак, который отделяет реальность от миража.

Мокрая губка лежит в ведре с водой. Рядом проплывает что-то массивное — и губка чуть вытягивается в его сторону, потому что вода давит неравномерно. Похоже ведёт себя нейтронная звезда, когда мимо проходит другая звезда: приливные силы растягивают её, и она слегка меняет форму. Внутренность нейтронной звезды — самая плотная материя во Вселенной, не считая чёрных дыр.

Камень падает в пруд — круги разбегаются и исчезают. Но в узком канале волна иногда собирается в горб и катится, не меняя формы, километр за километром. Такие упрямые одиночные волны называют солитонами. А если гребень не гладкий, а заострённый, как сжатая до предела пружина, — это пикон. Пикон впервые появился в уравнении Камассы–Холма, которое родилось из задачи о волнах на мелкой воде.

В большом городе после дождя вода скапливается в одних и тех же низинах, куда бы ни упали первые капли. Через час картина луж почти не зависит от того, с какого именно места начался ливень. Это и есть равновесие — итог, к которому система приходит независимо от старта, если забыть подробности.

Когда две чёрные дыры сливаются, рождается одна новая дыра. Сначала она дрожит, как ударенный колокол, и это дрожание расходится по пространству волнами. Детекторы на Земле ловят эти волны — по ним можно узнать массу и вращение дыры. Но сигнал слабый, и в нём много шума. Если взять разные кусочки записи, они могут дать слегка разные ответы. Какой из них верный?

Воздушный шарик надувается сам по себе, хотя никто не дует. Примерно так выглядит ускоренное расширение Вселенной — и чтобы его объяснить, обычно привлекают тёмную энергию, невидимую и непонятную силу. Но что, если шарик раздувается потому, что внутри него непрерывно появляются новые молекулы воздуха?

Ударьте по колоколу — он отзовётся на своей ноте. Так же и чёрная дыра, потревоженная падением звезды или другой дыры, начинает «звенеть», испуская гравитационные волны. Только вместо звука — дрожь самого пространства, а вместо одной ноты — целый набор затухающих частот. Их называют квазинормальными модами.

В физике элементарных частиц давно принято считать, что силы природы — электромагнетизм, слабое и сильное взаимодействия — подчиняются строгой симметрии, которую называют калибровочной. Она как набор правил, по которым частицы обмениваются переносчиками сил. Но откуда берутся сами правила? Обычно их вводят руками, а потом проверяют, что всё сходится.

Канатоходец шагает по туго натянутому тросу. Каждый его шаг — поиск равновесия, мгновенный расчёт сил. Примерно так же уравнения Эйнштейна описывают, как материя и энергия заставляют пространство-время изгибаться. Но долгое время никто не мог доказать, что эти уравнения вообще имеют решение — что канатоходец способен сделать хотя бы первый шаг и не рухнуть.

Чёрная дыра похожа на водоворот в реке: всё, что попало внутрь, уже не вырвется. Но есть у неё и внешняя зона — эргосфера, — где само пространство движется быстрее света и увлекает за собой любой предмет. Обычно размер этой зоны жёстко связан с массой и скоростью вращения дыры.

Кастрюля с водой на плите рано или поздно успокаивается: температура выравнивается, жидкость перестаёт бурлить. Физики называют это тепловым равновесием — состоянием, в котором энергия распределяется самым вероятным способом.

Разложим на столе горсть монет. Каждая монета — это возможный исход: выпадение орла, решки или ещё чего-то. Если мы знаем, насколько хаотичен этот набор (его энтропию), то какие комбинации вероятностей встретятся чаще? Оказывается, ответ зависит от того, много ли хаоса мы разрешили.

Бросьте камень в пруд — по воде разойдутся круги. Если бросить два камня рядом, круги пересекутся, создавая узор из усиленных и погашенных волн. Это интерференция. В квантовом мире роль таких кругов играют волны вероятности, а способность частицы создавать интерференцию называют когерентностью.

Квантовый бит, или кубит, — фундаментальная единица квантовой информации — представляет собой крайне нежную конструкцию. Даже слабое тепловое воздействие способно разрушить его состояние, подобно тому как случайный толчок опрокидывает хрустальный бокал, разбивая его вдребезги.