Капля чернил растекается в стакане воды: края её двигаются быстрее, чем середина, и форма капли меняется. Так и сгусток тёмной материи, стягивающийся под собственной тяжестью, расширяется неравномерно — разные его оболочки разлетаются с разной скоростью. Раньше астрофизики умели точно описывать лишь самый простой случай — однородный шар с резкой границей, у которого один темп расширения. Но реальные сгустки гладкие: плотность плавно спадает от центра к краю, и каждая оболочка чувствует своё притяжение.

Авторы вводят два числа для каждой точки: локальный контраст — насколько плотность здесь выше средней по Вселенной, и внутренний контраст — насколько выше среднего плотность всего, что находится внутри этой точки. Оказывается, скорость разлёта поперёк радиуса зависит только от внутреннего контраста, а вдоль радиуса — ещё и от разности локального и внутреннего. Эта разность как раз и показывает, насколько круто меняется плотность от точки к точке: если она велика, оболочки растягиваются сильнее.

Для быстрых оценок предложена простая трёхчленная аппроксимация, которая ошибается не более чем на 0.7% в широком диапазоне космологий. Это значит, что вместо долгих вычислений на компьютере можно мгновенно получить скорости по заданному профилю плотности. Раньше для каждого нового профиля приходилось заново решать уравнения движения, теперь достаточно подставить числа в готовую формулу.

Практическая польза: в космологических симуляциях и аналитических моделях формирования структур часто нужны именно сферические профили. Новый результат позволяет быстро вычислять скорости без повторного решения динамики, что экономит время и упрощает интерпретацию данных по пекулярным скоростям галактик.

Капля чернил в стакане снова приходит на ум: теперь её растекание можно описать одной функцией, зная лишь распределение чернил в каждый момент. Так и сгусток тёмной материи — его расширение полностью определяется профилем плотности и одной универсальной функцией, одинаковой для всех гладких сферических форм.