уравнения Навье — Стоксауравнение
Французский инженер Клод-Луи Навье (1821) и британский физик Джордж Стокс (1845) объединили в систему уравнения, выражающие сохранение массы и импульса в вязкой жидкости. Уравнение для импульса: ρ (∂v/∂t + v·∇v) = -∇p + μ ∇²v + f. Левая часть — масса на ускорение (включая конвективный перенос), правая — силы давления, вязкого трения и внешние воздействия. Добавляется условие несжимаемости ∇·v = 0. Их гениальность — в учёте внутреннего трения (члена с вязкостью μ).
Как работает
С их помощью инженеры рассчитывают, как воздух обтекает автомобиль, а метеорологи предсказывают движение циклонов. Вязкость (сопротивление течению) успокаивает поток, а если вязкость мала, возникает турбулентность — хаотичное перемешивание.
💡 Математический институт Клэя объявил премию в 1 миллион долларов за доказательство того, что решения уравнений существуют всегда и не «взрываются» (остаются гладкими) в трёхмерном случае — это одна из задач тысячелетия.
\rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}
ρ — плотность жидкости, ∂v/∂t — локальное ускорение, v·∇v — конвективное ускорение, ∇p — градиент давления, μ — динамическая вязкость, ∇²v — лапласиан скорости (вязкая диссипация), f — внешние объёмные силы (например, сила тяжести)
\nabla \cdot \mathbf{v} = 0
∇·v — дивергенция вектора скорости; для несжимаемой жидкости равна нулю, что означает отсутствие источников и стоков