теорема Пифагоратеорема
Теорема Пифагора — одно из древнейших математических утверждений, которое, согласно историческим данным, было известно ещё вавилонским землемерам за тысячу лет до Пифагора. В геометрической формулировке она гласит: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов на катетах. С современной точки зрения, это проявление закона сохранения квадрата длины при вращениях в евклидовом пространстве. Идея была обобщена на гильбертовы пространства, где для ортогональных векторов выполняется то же правило сложения квадратов.
Как работает
На практике теорему применяют для разметки фундаментов, в картографии для вычисления расстояний по карте, а также при расчёте траекторий в спорте — например, кратчайший путь футболиста к воротам по диагонали. Строители верёвкой с узелками на расстояниях 3, 4 и 5 метров откладывают идеально прямой угол.
💡 Существует более 400 различных доказательств — от геометрических вырезаний до алгебраических преобразований и даже с помощью дифференциальных уравнений.
c^2 = a^2 + b^2
c — длина гипотенузы, a и b — длины катетов прямоугольного треугольника.
\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 \text{ при } \langle x,y\rangle = 0
x, y — векторы в гильбертовом пространстве; ∥·∥ — норма (обобщение длины); ⟨·,·⟩ — скалярное произведение; условие ⟨x,y⟩ = 0 означает ортогональность (перпендикулярность) векторов.
ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 - c^2 dt^2
ds — элемент пространственно-временного интервала; dx, dy, dz — изменения пространственных координат; dt — изменение временной координаты; c — скорость света в вакууме (≈3×10⁸ м/с).