теорема Стоксатеорема
Сформулированная в середине XIX века Джорджем Стоксом для гидродинамики, знаменитая формула быстро стала универсальным инструментом физики. Классическая форма: циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку его ротора через любую поверхность, натянутую на контур: ∮_C F·dr = ∬_S (∇×F)·dS. Обобщённая версия — великая теорема Стокса — гласит: интеграл от дифференциальной формы по краю многообразия равен интегралу от её внешней производной по всему многообразию. Эта формула элегантно объединяет частные случаи: теоремы Грина на плоскости, Гаусса — Остроградского в пространстве и саму теорему Кельвина — Стокса.
Как работает
Подъёмная сила крыла — это прямое следствие циркуляции воздуха вокруг профиля; теорема Стокса связывает её с вихрями, сбегающими с задней кромки. В индукционной плите переменное магнитное поле рождает вихревое электрическое поле в металлической посуде, и токи нагревают её — это закон Фарадея в интегральной форме, эквивалентный теореме Стокса.
💡 Самая лаконичная запись фундаментальной теоремы анализа ∫_a^b f'(x)dx = f(b)–f(a) — это тоже частный случай общей теоремы Стокса, только для одномерного отрезка.
\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_{S} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}
∮_∂S — интеграл по замкнутому контуру ∂S; F — векторное поле; dr — элемент пути; ∬_S — интеграл по поверхности S; ∇×F — ротор F; dS — элемент площади, направленный по нормали
\int_{M} d\omega = \int_{\partial M} \omega
∫_M — интеграл по многообразию M; dω — внешний дифференциал k-формы ω; ∫_∂M — интеграл по границе ∂M. Правая часть интерпретируется как «поток через границу»