многообразие
Многообразие — это пространство, которое в малом масштабе неотличимо от обычного евклидова (с прямыми линиями и углами), но в целом может обладать сложной глобальной формой. Точнее, n-мерное многообразие — пространство, где у каждой точки есть окрестность, гомеоморфная (т.е. непрерывно деформируемая без разрывов и склеек) открытому подмножеству ℝⁿ. Локальная евклидовость позволяет использовать математический анализ, вводя гладкие структуры. Многообразия — центральный объект дифференциальной геометрии; их можно вкладывать в пространства большей размерности, но часто изучают внутренне — через карты и функции перехода, подобно тому как глобус покрывается плоскими картами.
История
Идею многообразий предложил Бернхард Риман в 1854 году, представив, что пространство может быть многомерным и искривлённым. Позднее Анри Пуанкаре развил топологию многообразий, закрепив термин.
Как работает
Работа с многообразием напоминает сборку глобуса из плоских карт: многообразие покрывается координатными картами, каждая из которых отображает участок в привычное плоское пространство. На пересечениях карт задаются правила перехода, обеспечивающие гладкую склейку. Таким образом, вычисления на отдельных картах согласуются между собой и дают целостную картину.
💡 Идя по прямой по поверхности Земли, вы в конце концов вернётесь в исходную точку — это свойство двумерного многообразия-сферы, глобальная кривизна которого незаметна на коротких расстояниях.