теорема Гауссатеорема
В математике это теорема о дивергенции, независимо сформулированная Карлом Фридрихом Гауссом (для гравитации), Михаилом Остроградским (в более общем виде) и Джорджем Грином. В физике она стала основой закона Гаусса для электричества (одного из уравнений Максвелла) и для гравитации. Идея: суммарная «расходимость» поля внутри объёма равна потоку через его границу. Для электричества: ∮ E·dA = Q/ε₀ — заряд создаёт поле, и его поток сквозь любую замкнутую поверхность, охватывающую заряд, одинаков.
Как работает
Пример: вокруг заряженного шара электрическое поле убывает как 1/r², и поток через любую сферу вокруг него один и тот же. Если внутри сферы заряда нет, то сколько силовых линий вошло, столько и вышло — поток ноль. На этом принципе устроен громоотвод: остриё создаёт высокое поле, и избыток заряда «стекает» с него, предотвращая удар молнии.
💡 Теорема действует даже в искривлённом пространстве-времени общей теории относительности, где входит в уравнения Эйнштейна для гравитации.
\oint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \int_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) dV
∮_{∂V} — интеграл по замкнутой поверхности ∂V, ограничивающей объём V; F — векторное поле; dS — векторный элемент площади (направлен наружу); ∇·F — дивергенция поля F; dV — элемент объёма.
\oint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}
∮_{∂V} — интеграл по замкнутой поверхности; E — напряжённость электрического поля; dA — вектор элемента площади; Q_enc — электрический заряд, заключённый внутри поверхности; ε₀ — электрическая постоянная (ε₀ ≈ 8,8541878188×10⁻¹² Ф/м).