قطرة العسل تنتشر على الطاولة ببطء، بينما الماء ينتشر بسرعة. مقاومة التدفق، أي اللزوجة، تختلف من سائل لآخر. ولكن ماذا لو تغيرت اللزوجة أثناء الحركة، كلما انضغط المادة أو تمددت؟ هذا هو سلوك العديد من الغازات، والمعادلات التي تصف حركتها، معادلات نافييه-ستوكس، تصبح شبه مستحيلة التعقيد.
درس مؤلفو العمل حالة تعتمد فيها اللزوجة على كثافة الغاز وفق قانون قوة: كلما زادت كثافة الغاز، زادت لزوجته (الأس أكبر من 1/2 وأقل من 1). ودرسوا كرة من الغاز تختفي ببساطة عند اللانهاية، حيث تنخفض الكثافة إلى الصفر. هذا "الفراغ البعيد" أمر شائع في أجواء الكواكب أو سحب الغاز بين النجوم. لكن بالنسبة لعالم الرياضيات، هذا كابوس: المعادلات تتدهور، ومن غير الواضح ما إذا كان لها حل على الإطلاق.
اتضح أنه حتى مع الاضطرابات الأولية الكبيرة جدًا، مثل الضغط المفاجئ لكرة الغاز، يظل الحل ناعمًا ويوجد لفترة طويلة بشكل تعسفي. هذا يعمل في المستوى وفي الفضاء ثلاثي الأبعاد. كانت الحيلة الرئيسية هي تجنب ثلاثة فخاخ في وقت واحد: الانحلال عند الفراغ، والتفرد في مركز الكرة (حيث تنهار الإحداثيات نوعًا ما)، واللزوجة غير الخطية. الأداة الرياضية التي ابتكروها لهذا الغرض تصلح أيضًا للحالة التي لا تنخفض فيها الكثافة إلى الصفر في أي مكان، أي للغاز في وعاء مغلق.
كما كتبه المؤلفون، بالإنجليزية arXiv:2605.17121
For the physically important case in which the viscosity coefficients depend on the density $$\rho$$ through a power law (i.e., $$\rho^\delta$$ with some exponent $$\delta \in (\frac{1}{2},1)$$), we establish the global well-posedness of regular solutions of the compressible Navier-Stokes equations for barotropic flow with large initial data of spherical symmetry in two and three spatial dimensions. The initial density considered here is positive everywhere but vanishes in the far field, ensuring that the resulting solutions satisfy the conservation laws of total mass and momentum. The most crucial step in our analysis is to obtain a uniform upper bound for the density, which is challenging due to the combined difficulties of degeneracy near the far-field vacuum, coordinate singularity at the origin, and nonlinearity of viscosity coefficients. Furthermore, the methodology developed here can also be applied to the corresponding problem in which the density remains strictly away from the vacuum.
معادلات نافييه-ستوكس صعبة للغاية لدرجة أنه تم رصد جائزة قدرها مليون دولار لإثبات وجود ونعومة حلولها في الحالة ثلاثية الأبعاد، وهي واحدة من مسائل الألفية السبع.
في رواية ستانيسلاف ليم «سولاريس»، يتصرف محيط الكوكب مثل سائل ذي لزوجة متغيرة، خاضعًا لمعادلات غير معروفة.