السلسلة الكمومية من السبينات تشبه خيطًا من الخرز، حيث كل خرزة هي مغناطيس مجهري يشير إلى الأعلى أو الأسفل. في نموذج XXZ تتفاعل هذه المغناطيسات الصغيرة بشكل مختلف على طول المحاور الثلاثة، وعند قيم خاصة للمعامل — جذور الوحدة — تستيقظ في النظام ذاكرة خفية.
عادةً ما تُعطى التناظرات في مثل هذه السلاسل بمجموعة من الكميات التي يمكن ضربها بأي ترتيب — مثل الأعداد. هنا وُجدت شحنات إضافية محفوظة، غير تبادلية فيما بينها. اتضح أن جبرها ليس تبادليًا عاديًا بل تربيعيًا: نتيجة ضرب شحنتين تعبر عن مجموع حاصلات الضرب الثنائية. هذه البنية معروفة باسم جبر أونساغر — وهو كائن رياضي ظهر لأول مرة في مسألة ترتيب المغناطيس المسطح.
بنى المؤلفون تمثيلات صريحة لمولّدات هذا الجبر على شكل حواصل ضرب مصفوفية — نوع من الأختام الجزيئية التي تطبع حالة السلسلة. علاوة على ذلك، وجدوا خط العيب المزدوج — خطًا خاصًا، عند عبوره تتغير خصائص النظام بشكل مرآتي. يخضع هذا العيب لقواعد اندماج تامبارا-ياماغامي: عيبان من نوع معين عند اصطدامهما يعطيان مزيجًا من أنواع أخرى، مثل العناصر الكيميائية في تفاعل.
تبين أن هذا العيب هو تجسيد شبكي للخطوط الطوبولوجية من نظرية الحقل المطابق — الوصف الرياضي للأوتار الكمومية. العلاقة بين جبر أونساغر والازدواجيات في السلاسل تعني أن التناظرات العميقة قد تنشأ من قواعد التفاعل المجهرية، ولا تُفرض من الخارج. الشبكة الخفية للتناظر، المختبئة في تشابك السبينات، حصلت الآن على عنوان رياضي دقيق.
اكتُشف جبر أونساغر في عام 1944 على يد لارس أونساغر عند الحل الدقيق لنموذج إيزينغ ثنائي الأبعاد — واحدة من أولى المسائل التي أمكن فيها وصف انتقال الطور تحليليًا.
في رواية «أناثيم» لنيل ستيفنسون، تُستخدم الحالات الكمومية في حسابات متوازية داخل الأكوان المتعددة — مثل هذه التناظرات الخفية قد تكون مفاتيح لفروع مختلفة من الواقع.