في كل عام، مع اقتراب شهر ديسمبر، تصبح مياه قبالة سواحل بيرو دافئة أو باردة بشكل غير طبيعي. هذه هي النينيو (El Niño) والنينيا (La Niña)، مرحلتان من بندول مناخي واحد يتأرجح في الجزء الاستوائي من المحيط الهادئ. البندول ليس بسيطًا: فهو يتذكر ما حدث له قبل عدة أشهر، وهذه الذاكرة تحدد إلى أين سيتأرجح بعد ذلك.

في ثمانينيات القرن العشرين، اقترح علماء المناخ وصف هذا البندول بمعادلة ذات تأخير زمني: معدل تغير درجة حرارة الماء لا يعتمد فقط على الحالة الحالية، بل أيضًا على ما حدث في وقت سابق. ينشأ التأخير لأن الأمواج في المحيط لا تنتقل من أحد الشاطئين إلى الآخر فورًا، بل تستغرق عدة أشهر. قام الفيزيائيان سواريز وشوبف بتبسيط النموذج إلى معادلة واحدة يسهل حلها على الكمبيوتر وتحليلها يدويًا.

في العمل الجديد، أضاف علماء الرياضيات إلى معادلة سواريز–شوبف تأثيرًا دوريًا خارجيًا يحاكي تعاقب الفصول. لقد رسموا خريطة كاملة لكيفية تغير سلوك النظام عند قيم مختلفة للتأخير وسعة التأثير. اتضح أن المناطق التي يتزامن فيها البندول مع الموسم ضيقة جدًا ولا تتقاطع تقريبًا. وهذا يفسر لماذا لا تتكرر ظاهرة النينيو الحقيقية بدقة كل عام، رغم ميلها إلى بلوغ ذروتها في ديسمبر.

لفهم التفاصيل، طوّر المؤلفون طريقة لحساب عدد الدوران (rotation number) للأنظمة ذات التأخير. يوضح عدد الدوران عدد اللفات التي يقوم بها المسار على السطح الطوري (torus) خلال فترة واحدة من التأثير الخارجي. إذا كان هذا العدد نسبيًا (rational)، تكون الديناميكا دورية؛ وإذا كان غير نسبي (irrational)، يملأ المسار السطح بكثافة. تطلبت الحسابات حوالي 768 000 تشغيلًا للنموذج، واستغرقت حوالي 8 ساعات على حاسوب عادي.

تبين أن النتيجة مهمة لفهم المناخ: نموذج سواريز–شوبف مع التأثير الموسمي لا يعيد إنتاج العشوائية غير المنتظمة التي تُلاحظ في القياسات. هذا يعني أنه من أجل تنبؤ واقعي، يجب أخذ عوامل إضافية في الاعتبار، مثل عدم التماثل بين المرحلتين الدافئة والباردة أو الاضطرابات العشوائية. لكن طريقة حساب عدد الدوران نفسها ستكون مفيدة في مجالات متنوعة، من فيزياء الليزر إلى الإيقاعات البيولوجية.