عبر منخل كثيف بلا حدود، لا يتسرب شيء زائد. هكذا يعمل فضاء Q: أي مجموعة هنا تنشأ من تقاطع عدد قابل للعد من المناطق المفتوحة. لكن هل يمكن لهذا المنخل أن يكون متماسكاً، بلا نقاط معزولة (ثقوباً)، مع ضمان أن تقاطع الأجزاء الكثيفة يظل كثيفاً؟ هذه الخاصية، بالمعنى الفئوي، تُسمى اكتمال بير (Baire completeness).

اتضح أن تماسك المنخل يعتمد على وجود عدد فائق الضخامة: الكاردينال القابل للقياس. هذا ليس مجرد عدد، بل نقطة خاصة يمكن تعريف مقياس غير عادي عليها: يُسند لكل مجموعة جزئية إما 0 أو 1، ويفعل ذلك بطريقة غير بديهية — لا «يعلق» المقياس على نقاط منفردة. هذا الكاردينال وصفه لأول مرة جون فون نيومان. باستخدام الإجبار (forcing) (توسيع قسري للكون الرياضي)، أخذ الباحثون نموذجاً يحوي كاردينالاً قابلاً للقياس و«قذفوا» فيه أعداداً عشوائية بطرق الجبر العشوائي — مثل محاكاة عددية لعالم احتمالي جديد. في البنية الناتجة، يحوّل المثالي (ideal) الكاردينال إلى فضاء Q، مع قياس موجب تماماً على المجموعات المفتوحة، مما يحميه من «الهزال» الطوبولوجي.

وهكذا، فإن المنخل الأمثل «الشامل النخل» يتطلب افتراض الكاردينال القابل للقياس. بدونه، لا وجود لهذه الفضاءات. هذا يُذكّر كيف أن فروع الإمكانيات الرياضية تعتمد على مسلّمات قد تبدو بعيدة. حتى التعقيد المعلوماتي للفضاء — كم عدد المجموعات المفتوحة اللازمة للوصف — محدود بالقوة المستمرة (continuum)، مما يفرض قيوداً صارمة. والمنطق الاحتمالي للكاردينالات الكبيرة ينخل اللانهاية بعمق متزايد عبر منخل الطوبولوجيا.