في بعض النظريات الكمومية، تتشابك التناظرات بطريقة غير عادية — كما لو كان للقلعة مفتاحان، لكن إدارة أحدهما تحرك الآخر قليلاً. تسمى هذه التناظرات المتشابكة 2-مجموعات. أحدهما عادي، يعمل على الجسيمات النقطية (0-صيغة)، والآخر «خطي» (1-صيغة)، مسؤول عن الأجسام الممتدة مثل الأوتار أو الخطوط.
درس المؤلفون خطوطًا مشحونة بالنسبة لتناظر 1-صيغة واكتشفوا أنها تكسر حتمًا تناظر 0-صيغة. هذا ليس عيبًا في النموذج، بل عائق طوبولوجي — «شذوذ عائلي» يبقى تحت أي تحويلات للنظام (تدفق مجموعة إعادة التطبيع). يولد الكسر عائلة كاملة من الخطوط، معلمة بمولدات التناظر المكسورة.
للتحليل، استخدموا شرط الاتساق لـ Wess-Zumino وشكلية عامة لتدفق الشذوذ. في الحالة غير الأبيلية، ينشأ الشذوذ من اتصال بيري الأعلى على فضاء معاملات العيوب. في الحالة الأبيلية، طبقوا علم التجانس التفاضلي، وفي الحالة المنفصلة، أعادوا الصياغة من خلال ترابطية عيوب التناظر.
يوضح العمل كيف يرتبط كسر التناظر بالخطوط بالتسلسل الهرمي للكسر في الحجم، ويشير إلى اختلافات دقيقة بين الخطوط البسيطة وغير البسيطة. كل هذا قيود عامة لا تعتمد على النموذج المحدد.
الشذوذ العائلي يشبه الصفة الوراثية: إذا كسر الخط السلف تناظرًا، فإن جميع «أحفاده» تحت تأثير مجموعة إعادة التطبيع سيحتفظون بهذه الخاصية.