في بعض النظريات الكمية، تتشابك التناظرات بطريقة غير معتادة — كما لو كان للقلعة مفتاحان، لكن إدارة أحدهما تحرّك الآخر قليلًا. تسمى هذه التناظرات المتشابكة زمرًا ثنائية 2-زمر. أحدها هو التناظر 0-صيغي المعتاد الذي يؤثر على الجسيمات النقطية، والآخر هو التناظر "الخطي" 1-صيغي المسؤول عن الأجسام الممتدة مثل الأوتار أو الخطوط.

درس المؤلفون خطوطًا مشحونة بالنسبة لتناظر 1-صيغي، واكتشفوا أنها تنتهك حتمًا التناظر 0-صيغي. هذا ليس عيبًا في النموذج، بل عائق طوبولوجي — "شذوذ عائلي" يبقى تحت أي تحويلات للنظام، بما في ذلك تدفق مجموعة إعادة التطبيع. الانتهاك يولّد عائلة كاملة من الخطوط، معلمة بالمولّدات المكسورة للتناظر.

للتحليل، استُخدم شرط الاتساق لفيَس-زومينو وصياغة معممة لتدفق الشذوذ. في الحالة غير الأبيلية، ينشأ الشذوذ من ترابط بيري الأعلى على فضاء تشكيلات العيوب. في الحالة الأبيلية، طُبقت علم التجانس التفاضلي، وفي الحالة المتقطعة، أعيدت الصياغة عبر ترابطية عيوب التناظر.

يوضح العمل كيف يرتبط كسر التناظر بواسطة الخطوط بالتسلسل الهرمي للكسر في الحجم، ويشير إلى فروق دقيقة بين الخطوط البسيطة وغير البسيطة. كل هذا قيود عامة لا تعتمد على نموذج محدد.