مبرهنة بوينتنجمبرهنة
عام 1884، وبتحليله لمعادلات ماكسويل، استنتج جون هنري بوينتنج علاقة طاقية دقيقة: معدل تغير طاقة الحقل زائد تباعد متجه بوينتنج يساوي القدرة المبذولة على الشحنات. قبله، ساد تشبيه تدفق السوائل في الأنابيب، لكن بوينتنج بيّن أن الطاقة تنتقل حصرًا بالحقل في الفضاء، والأسلاك لا تفعل سوى توجيه التيار. الصياغة المختصرة: ∂u/∂t + ∇·S = -J·E، حيث u كثافة الطاقة للحقلين الكهربائي والمغناطيسي، S = E × B / μ₀ متجه بوينتنج (كثافة تدفق الطاقة)، وJ·E حرارة جول. اليوم، تُبنى جميع حسابات الطاقة والاتصالات الراديوية والبصريات على هذا الوصف التدفقي.
كيف يعمل
حين تشعل المصباح، يسري تيار في الأسلاك، لكن القدر الأكبر من الطاقة ينتقل خارجها: الحقول الكهربائية والمغناطيسية حول الأسلاك تولد تدفقًا لمتجه بوينتنج من المنبع إلى المصباح. داخل الفتيلة، يدخل هذا التدفق إلى المعدن ويتحول إلى حرارة جول فتشع ضوءًا. إذا فُتحت الدارة، لا يتوقف تدفق الطاقة — إما أن يعود إلى المصدر، أو يشع في الفضاء كموجات كهرومغناطيسية.
💡 ضوء الشمس الذي يبلغ الأرض هو متجه بوينتنج: يستقبل كل متر مربع نحو 1360 واطًا. نحن تحت هذا 'الدش' الكهرومغناطيسي باستمرار، والألواح الشمسية لا تعترض سوى جزء من التدفق وتحوله إلى كهرباء.
u = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2
u كثافة الطاقة الحجمية (جول/م³)، ε₀ سماحية الفراغ (ε₀ ≈ 8,854×10^{-12} F/m)، E مقدار متجه شدة الحقل الكهربائي (V/m)، μ₀ نفاذية الفراغ (μ₀ ≈ 4π×10^{-7} H/m)، B مقدار كثافة التدفق المغناطيسي (T). الحد الأول من طاقة الحقل الكهربائي، والثاني من المغناطيسي.
\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B}
S (متجه بوينتنج) كثافة تدفق الطاقة الكهرومغناطيسية (W/m²)، يشير إلى اتجاه النقل ومقداره؛ E متجه الحقل الكهربائي، B متجه كثافة التدفق المغناطيسي، × الجداء المتجهي، μ₀ نفاذية الفراغ. يتعامد اتجاه S مع كل من E وB وفق قاعدة البرغي الأيمن.
\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{S} = -\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}
∂u/∂t يمثل معدل تغير كثافة الطاقة مع الزمن؛ ∇·S تباعد متجه بوينتنج (الفرق بين الطاقة الخارجة والداخلة لواحدة الحجم، والقيمة الموجبة تعني تدفقًا خارجيًا)؛ J·E القدرة التي يبذلها الحقل على تحريك الشحنات (تتحول عادة إلى حرارة جول)؛ J متجه كثافة التيار (A/m²)، E متجه الحقل الكهربائي. إذا كانت J·E > 0، يمنح الحقل طاقة للشحنات.