Une fine pellicule magnétique ressemble à un rang de soldats de plomb munis de minuscules aiguilles aimantées. Dans un monde plat, les secousses thermiques ne tardent pas à rompre ce rang : le moindre échauffement détruit l'ordre. C'est ce qu'énonce l'interdiction de Mermin–Wagner : en deux dimensions, une symétrie continue ne survit pas à température finie.

Mais si l'on transporte l'aimant sur une surface incurvée en forme de selle ou de feuille de chou, les règles changent. Un groupe de physiciens a examiné le modèle de Heisenberg sur des pavages réguliers du plan hyperbolique — un espace à courbure négative constante. Il s'avère que les excitations collectives d'énergie nulle, inévitables lors d'une brisure de symétrie, sont presque invisibles pour un observateur local. Elles ne contribuent pas à la densité spectrale au voisinage d'un nœud donné du réseau. Les corrélations transverses locales s'atténuent sur une distance finie — un peu comme les rides sur l'eau qui s'éteignent rapidement si l'on jette une pierre non pas dans un étang, mais dans un étroit canal incurvé.

Plus on courbe l'espace, plus les fluctuations quantiques s'affaiblissent. Le comportement du système se rapproche de ce que prédit la théorie du champ moyen la plus simple : chaque aiguille magnétique ressent un environnement moyenné, sans presque remarquer les remous de ses voisines. Les auteurs ont estimé la température d'ordonnancement à partir de la correction thermique à l'aimantation et ont montré que l'ordre magnétique est possible à température finie. Ainsi, la géométrie contourne une interdiction fondamentale sans briser ni modifier la symétrie des interactions.

Le plan hyperbolique, issu de la géométrie abstraite, devient un outil d'ingénierie. Peut-être pourra-t-on, sur cette base, créer des nanostructures présentant un ordre magnétique stable à température ambiante — sans matériaux exotiques, rien qu'avec une forme ingénieuse.