Imaginez un kaléidoscope : une poignée de petits verres colorés, réfléchis par des miroirs, engendre d'innombrables motifs. En mathématiques, on doit souvent recenser les réseaux possibles formés de points identiques — par exemple, toutes les façons de les relier par des lignes, si les points ne peuvent pas être étiquetés. L'énumération directe est ici impuissante : pour 20 points, il y a plus de possibilités que d'étoiles dans la galaxie.

Il existe pourtant une astuce élégante. Au lieu d'énumérer tous les motifs, on utilise une moyenne sur toutes les rotations possibles (permutations des points). Pour chaque rotation, on regarde combien de motifs restent inchangés, puis on prend la moyenne. On obtient ainsi le nombre exact. Mais le nombre de rotations est lui aussi énorme — la décomposition en parties identiques aide. Si un motif est symétrique, il est constitué de morceaux répétés. En remarquant cela, les mathématiciens ont appliqué une approche récursive : le problème se réduisait à compter ces morceaux, beaucoup plus rapidement. Le kaléidoscope se replie sur lui-même.

Ainsi, pour la première fois, on a pu compter exactement le nombre de motifs pour 16, 17, 18, 19 et 20 points. Le résultat pour 20 points est un nombre colossal : 7 278 601 292 779 396 715. Derrière ce nombre, il n'y a pas de chaos, mais une architecture ordonnée de réflexions. La méthode ne servira pas seulement pour des motifs purs, mais aussi pour l'énumération de médicaments et de nouveaux matériaux, et elle pourrait accélérer l'apprentissage automatique dans la recherche de meilleures configurations de réseaux de neurones.