В комнате, где собрались сто человек, можно измерить рост каждого и вычислить средний. Но если в комнату войдёт человек бесконечно высокий, средний рост перестанет существовать: сколько бы людей ни добавилось, сумма будет расти без предела. Примерно такая ситуация сложилась с измерениями скорости ветра в Сухих долинах Мак-Мердо, где метеостанции фиксируют порывы, которые не укладываются в обычную статистику.
Исследователи из работы Спирса и соавторов (2012) искали связь между частотой фёновых дней и климатическими индексами ENSO и SAM. Они вычислили средние скорости ветра и посчитали корреляции, получив значимые результаты. Однако проверка самих данных показала: скорости не подчиняются нормальному распределению, а следуют степенному закону с показателем меньше двух. В таком случае математическое ожидание скорости ветра, то есть её истинное среднее, расходится — оно бесконечно велико.
Когда среднее не существует, любой расчёт арифметического среднего по конечной выборке не сходится к какому-то определённому числу: от выборки к выборке результат будет случайно меняться. Поэтому корреляции Пирсона, которые опираются на средние, теряют статистический смысл. Заявление о значимости на уровне 95% ошибочно, поскольку для таких данных не существует строгого определения значимости корреляции.
Работа показывает, что перед любым корреляционным анализом геофизических рядов необходимо проверять тип распределения. Если данные описываются степенным законом с параметром меньше 2, стандартные методы, основанные на средних и дисперсиях, неприменимы. Это отличает данную статью от соседних работ, которые используют машинное обучение для прогноза, но не ставят вопрос о существовании моментов распределения. Здесь впервые для ветров в Сухих долинах показана расходимость среднего, что ставит под сомнение все предыдущие выводы о связи с ENSO и SAM.
Вернёмся к комнате с бесконечно высоким человеком: любые попытки вычислить средний рост обречены. Точно так же в Сухих долинах Мак-Мердо средняя скорость ветра — это величина, которую нельзя определить. А значит, и корреляции, построенные на её основе, не могут рассказать о реальной связи между локальными ветрами и глобальным климатом.
Если у распределения параметр меньше 2, то среднее значение бесконечно, но медиана остаётся конечной. Поэтому в таких случаях лучше описывать типичную скорость ветра медианой, а не средним арифметическим.