Ритм, сбитый ветром: как шум размывает колебания ✎

Оригинал: "Stable limit cycles perturbed by noise"

arXiv:1506.00756 · 2015-06-02 · arXiv non-exclusive · собственный разбор · 1 мин

Периодические системы под действием случайных толчков теряют чёткий ритм, но их можно описать через фазу и отклонение.

Маятник качается ровно, пока его не трогают порывы ветра. Каждый толчок чуть сдвигает ритм, и вот уже удары не совпадают с метрономом. Природные осцилляторы живут так же: сердце, популяции, климатические циклы — все они колеблются, но случайность постоянно вмешивается.

Предельный цикл — это замкнутая траектория, к которой стремятся соседние. На графике она выглядит как кольцо, по которому система ходит бесконечно, если её не трогать.

В новой работе рассматривается система, которая без шума крутилась бы по идеальному кольцу. Шум добавляет случайные толчки. Автор раскладывает движение на две части: одна — вдоль кольца, другая — поперёк. Первая часть накапливает случайные сдвиги, как пьяный, бредущий по кругу: он всё время идёт вперёд, но направление шатается. Вторая часть быстро затухает, как будто резинка тянет точку обратно на кольцо.

Белый шум — это случайные толчки без памяти: каждый новый толчок не зависит от предыдущих. Как дождь, капли которого падают независимо.

Для простого случая, когда кольцо рождается из неподвижной точки, автор вывел точные формулы. Они показывают, насколько быстро теряется связь сигнала с самим собой и как частота пика сдвигается под действием шума. Численные симуляции подтвердили: формулы работают, когда шум слабый.

Метод применили к данным Эль-Ниньо — климатическому колебанию в Тихом океане. Получили период около 4,2 года и скорость разбегания траекторий, согласующуюся с прежними оценками. Так маятник, качающийся под ветром, оказался описан формулами, которые можно подгонять к реальным данным.

Весь граф →

Эль-Ниньо, несмотря на свою нерегулярность, имеет характерный период около 4 лет, что близко к оценке, полученной в работе.

ACV[x](u) = \frac{r^2}{2} \left[1 + NSR^2 e^{-\lambda |u|}\right] \cos(\alpha u) e^{-|u|(\sigma/r)^2/2}

Автоковариация затухает экспоненциально из-за фазового дрейфа и содержит осциллирующий множитель с частотой цикла.

PS[x](\omega) = \frac{2r^2(\sigma/r)^2 [4(\alpha^2+\omega^2)+(\sigma/r)^4]}{[4(\alpha-\omega)^2+(\sigma/r)^4][4(\alpha+\omega)^2+(\sigma/r)^4]} + NSR^2 \cdot \frac{2r^2((\sigma/r)^2+2\lambda)[4(\alpha^2+\omega^2)+((\sigma/r)^2+2\lambda)^2]}{[4(\alpha-\omega)^2+((\sigma/r)^2+2\lambda)^2][4(\alpha+\omega)^2+((\sigma/r)^2+2\lambda)^2]}

Спектр имеет пик, сдвинутый от детерминированной частоты, и конечную ширину из-за шума.

Понятия

стохастическая динамическая система бифуркация Хопфа моделирование биологических ритмов южная осцилляция эль-ниньо весенний барьер предсказуемости статистический шум стохастическая самоорганизация естественная изменчивость энсо неустойчивость смешанные моды колебаний сезонный цикл индекс южной осцилляции белый шум динамические системы модель Джина–Тиммермана индекс Эль-Ниньо осцилляции нейронных сетей модель осциллятора с подзарядкой предел

Я автор

Ритм, сбитый ветром: как шум размывает колебания ✎