Классическая модель Валлиса, предложенная в 1986 году, связывает хаотическое поведение системы с явлением Эль-Ниньо. Однако целочисленные производные не учитывают память и наследственные свойства океанических процессов. Дробные производные позволяют описать системы, где текущее состояние зависит от всей предыстории. Работа стоит рядом с исследованиями квантовых состояний и хаоса в других системах, но здесь впервые детально изучена дробная версия модели Валлиса для всех значений параметра p.
Авторы рассматривают дробную систему Валлиса с производными Капуто порядка α. Для анализа устойчивости используются собственные значения матрицы Якоби и критерий Матиньона. Численное моделирование выполнено методом нового предиктора-корректора (NPCM), предложенным Дафтардар-Гейджи и соавторами. Строятся бифуркационные диаграммы по параметру p и дробному порядку α, вычисляются наибольшие показатели Ляпунова (LLE) по алгоритму Вольфа. Для несоразмерной системы варьируются порядки α1, α2, α3 по отдельности.
Для соразмерной системы при B=150, C=4 область хаоса по параметру p сужается с уменьшением α: при α=1 хаос наблюдается для |p|≤2.45, при α=0.985 — для |p|≤1.5, при α=0.975 — лишь для узкого диапазона вблизи p=0, а при α=0.965 хаос исчезает полностью. Для B=105, C=4 и p=0.35 критический порядок, ниже которого хаос пропадает, равен α=0.975, то есть суммарный порядок 2.925. Для несоразмерной системы с α2=α3=1 хаос сохраняется до α1=0.71 (суммарный порядок 2.71); при варьировании α2 критическое значение 0.942 (сумма 2.942); при варьировании α3 — 0.948 (сумма 2.948). Наибольший показатель Ляпунова для α=0.98 и p=0.35 равен 0.4181, что подтверждает хаос.
Работа показывает, что дробный порядок выступает эффективным параметром, управляющим хаосом в климатической модели. В отличие от соседних работ, где дробные системы изучались лишь для отдельных значений параметров, здесь проведён полный анализ для всех p и найдены точные критические порядки. Это даёт инструмент для понимания, как память океана может подавлять или усиливать Эль-Ниньо.
Возможно распространение подхода на более реалистичные модели Эль-Ниньо, включающие запаздывания и пространственную структуру. Интересно исследовать влияние дробного порядка на синхронизацию нескольких климатических осцилляторов и на прогнозируемость явления.
Результаты могут быть полезны в климатологии для оценки чувствительности моделей Эль-Ниньо к учёту памяти, а также в теории динамических систем для понимания роли дробных производных в хаосе.
Проверить полученные критические порядки на других наборах параметров и сравнить с наблюдательными данными по Эль-Ниньо. Исследовать синхронизацию дробной системы Валлиса с более сложными климатическими моделями.
В теории дробных динамических систем остаётся открытым вопрос о точной связи между порядком дробной производной и физическими механизмами памяти. Данная работа даёт количественные ориентиры для климатических приложений, но не раскрывает микроскопическую природу памяти океана.
Модель Валлиса получается из системы Лоренца добавлением всего одного параметра p, который описывает среднее влияние экваториальных ветров на океан. При p=0 и B=1 она в точности совпадает с системой Лоренца.