Тёплое течение у берегов Южной Америки каждые несколько лет меняет погоду по всей планете. Это Эль-Ниньо, и его поведение похоже на маятник, который иногда раскачивается слишком сильно. В 1986 году метеоролог Джон Валлис описал этот процесс тремя уравнениями, где океан и атмосфера обмениваются теплом и импульсом. Уравнения оказались хаотичными: малейшее изменение начальных условий приводит к совершенно разной траектории. Но в той модели океан помнил только текущее мгновение, как будто вчерашняя вода не влияла на сегодняшнюю.

В новой работе уравнения Валлиса переписали с дробными производными. Обычная производная показывает, как быстро меняется величина прямо сейчас. Дробная производная добавляет к этому память: она учитывает, что происходило с системой в прошлом, причём недавние события важнее давних. Это похоже на то, как человек принимает решение, опираясь не только на текущий момент, но и на весь свой опыт. Океан тоже помнит: тёплая вода, пришедшая в прошлом году, продолжает влиять на течения и ветры.

Исследователи численно решили дробную систему для разных значений параметра p, который описывает среднее влияние экваториальных ветров на океан. При α=1 хаос наблюдается для |p|≤2.45. Когда α уменьшается до 0.985, диапазон хаоса сужается до |p|≤1.5. При α=0.975 хаос остаётся лишь в узкой полосе вблизи p=0. А при α=0.965 хаос исчезает полностью. Это значит, что достаточно сильная память океана способна погасить хаотические колебания Эль-Ниньо.

Критический порядок, ниже которого хаос пропадает, вычислен точно. Для одного набора параметров он равен 0.975, то есть суммарный порядок трёх уравнений составляет 2.925. Для несоразмерной системы, где разные уравнения имеют разные порядки производных, критический суммарный порядок оказался ещё ниже: 2.71 при α1=0.71, α2=α3=1. Это показывает, что память в одном из уравнений может быть решающей.

Раньше было известно, что целочисленная модель Валлиса хаотична и связана с Эль-Ниньо, но влияние дробного порядка на хаос оставалось неисследованным. Теперь установлено, что уменьшение дробного порядка сужает область хаоса по параметру p, а ниже критического значения хаос исчезает полностью. Найдены точные критические порядки для соразмерного и несоразмерного случаев. Этот результат получен путём бифуркационного анализа и вычисления показателей Ляпунова для дробной системы при всех значениях параметра p и различных порядках производных.

Память океана оказалась не просто деталью, а инструментом, который может подавлять или усиливать Эль-Ниньо. Если в реальном океане память достаточно сильна, прогнозы климатических моделей должны учитывать дробный порядок. Пока неясно, как именно измерить эту память в природе, но работа даёт количественные ориентиры. Возможно, в будущем климатологи смогут настраивать модели так, чтобы они точнее предсказывали, когда тёплое течение снова изменит погоду на планете.