В 1961 году Станислав Улам предложил простую модель: частица мечется между неподвижной стенкой и стенкой, которая колеблется по кусочно-линейному закону. Казалось бы, бильярд как бильярд. Но за этой простотой скрывался вопрос, который не давал покоя физикам десятилетиями: может ли частица разгоняться до бесконечности?

Ответ оказался парадоксальным. В классической версии — почти никогда. Ускоряющиеся орбиты существуют, но они настолько редки, что образуют множество меры нуль. Почти каждая частица бесконечно часто возвращается к начальному уровню энергии. А вот квантовая версия ведёт себя иначе: энергия растёт квадратично. Квантовый шар разгоняется там, где классический топчется на месте.

Это как если бы классический бильярдный шар, запущенный в лузу, почти всегда возвращался на исходную позицию, а квантовый — улетал в небо. Разница между мирами — не в деталях, а в самой природе движения. Квантование радикально меняет вывод: классическая типичная возвратность сменяется квантовым ускорением.

До этой работы было неизвестно, как ведут себя почти все орбиты в кусочно-линейной модели Ферми–Улама и почему квантовая версия ускоряется. Теперь доказано: классические ускоряющиеся орбиты образуют множество меры нуль, а квантовая энергия растёт квадратично при общем резонансе. Авторы свели динамику к косому произведению над обменом интервалов и вычислили квазиэнергетический спектр через конечные матрицы. Это может пригодиться при проектировании динамических ловушек для холодных атомов и в мезоскопике, где границы меняются во времени.

Остаётся открытым нерезонансный случай: там косое произведение исчезает, и динамика на инвариантных окружностях превращается в бесконечный обмен интервалов — самостоятельную нерешённую проблему. Для квантовой версии ожидается, что при диофантовых или лиувиллевых числах резонанса абсолютно непрерывный спектр выродится в сингулярно непрерывный или точечный, но анализ больших матриц пока упирается в вычислительные трудности.