В логике есть мост. Он соединяет два берега: допустимые правила (те, что не нарушают истинность) и выводимые правила (те, что можно получить из аксиом). В обычных, конечных случаях мост прочен. Но если правил становится бесконечно много — мост рушится.

Это свойство называется структурной полнотой логической системы. До сих пор было известно, что многие известные логики, например, логика Дамметта или Медведева, полны при конечных правилах. Но новое исследование показало: стоит разрешить бесконечные наборы посылок, и они теряют это свойство. Причина — в одной хитрой бесконечной конструкции: алгебре порядка ω+2 (почти счётная цепочка элементов с двумя дополнительными наверху). Это как в рецепте: если добавить бесконечно много ингредиентов, блюдо перестаёт получаться по книге.

Единственные системы, где мост выдерживает бесконечные правила, — те, что порождены одной конечной алгеброй. Такие системы называют табулярными. Их можно описать простым перечнем всех возможных ситуаций. Все остальные, чуть более сложные, проваливают тест. Исследование также проясняет внутреннее устройство логических систем и показывает, как строить контрпримеры. Открытие связывает κ-структурную полноту (где κ — допустимый размер бесконечности) с глубокими вопросами о том, можно ли вообще аксиоматизировать логику конечным способом. Мост логики, увы, рассчитан только на конечный вес.