Представьте калейдоскоп: горсть цветных стёклышек, отражаясь в зеркалах, рождает бесчисленные узоры. В математике часто нужно пересчитать возможные сети из одинаковых точек — например, все способы соединить их линиями, если точки нельзя подписать. Прямой перебор здесь бессилен: для 20 точек вариантов больше, чем звёзд в галактике.

Однако есть элегантный приём. Вместо того чтобы перебирать все узоры, используют усреднение по всем возможным поворотам (перестановкам точек). У каждого поворота смотрят, сколько узоров остаются неизменными, а затем берут среднее. Так получают точное число. Но число поворотов тоже огромно — помогает разбиение на одинаковые части. Если узор симметричен, он состоит из повторяющихся кусков. Заметив это, математики применили рекурсивный подход: задача сводилась к подсчёту таких кусков в разы быстрее. Калейдоскоп сам себя складывает.

Так удалось впервые точно подсчитать число узоров для 16, 17, 18, 19 и 20 точек. Результат для 20 точек — колоссальное число 7 278 601 292 779 396 715. За этим числом — не хаос, а стройная архитектура отражений. Метод пригодится не только для чистых узоров, но и для перебора лекарств и новых материалов, а также может ускорить машинное обучение при поиске лучших конфигураций нейросетей.