статистическая сумма

# тег · @ автор · ! учёный

Статистическая сумма (или сумма состояний) — центральная величина статистической физики, связывающая микроскопические свойства частиц с макроскопическими параметрами, такими как температура и давление. Она служит для нормировки вероятностей: сумма экспоненциальных множителей Больцмана по всем доступным микросостояниям гарантирует, что полная вероятность равна единице. Для системы с фиксированным числом частиц, объёмом и температурой Z = Σ e^(-E_i/(k_B T)), где E_i — энергия i-го состояния, k_B — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура. Зная Z, можно найти свободную энергию и любые средние характеристики, продифференцировав её по соответствующим переменным.

История

Понятие ввёл в конце XIX века австрийский физик Людвиг Больцман, создавая статистическую механику.

Как работает

Чтобы рассчитать термодинамические свойства, сначала перечисляют все возможные микросостояния системы (положения и скорости частиц). Каждому приписывают вес, экспоненциально уменьшающийся с энергией: e^(-E/(k_B T)). Сумма всех весов даёт статистическую сумму Z. Логарифм Z напрямую связан со свободной энергией, а производные от логарифма по температуре или объёму дают среднюю энергию, давление, энтропию — то есть все привычные характеристики, измеряемые в эксперименте.

💡 Статистическая сумма естественно включает второе начало термодинамики, поэтому с её помощью можно формально доказать невозможность вечного двигателя второго рода.

Статистическую сумму можно представить как итог голосования, где каждое микросостояние системы (например, определённое расположение молекул газа) получает «количество голосов», убывающее с ростом его энергии при данной температуре. Общая сумма голосов — это и есть Z. Состояния с наибольшим весом вносят главный вклад в средние величины, что позволяет вычислить, скажем, насколько нагреется чайник при включении: учёные перебирают возможные микросостояния, взвешивают их, а затем из Z извлекают среднюю энергию и предсказывают поведение системы.

История

Понятие ввёл в конце XIX века австрийский физик Людвиг Больцман, создавая статистическую механику.

Как работает

💡 Для идеального бозе-газа при температурах ниже критической наивная замена суммы интегрированием по энергиям приводит к расходимости, так как не учитывает макроскопическое заполнение основного состояния. Поэтому при описании конденсации Бозе–Эйнштейна конденсатную компоненту выделяют явно.

Статистическая сумма (partition function) — фундаментальная функция в статистической механике, определяющая все термодинамические свойства равновесной системы. В каноническом ансамбле она равна Z = Σ_i e^{-β E_i}, где β = 1/(k_B T), и суммирование идёт по всем микросостояниям системы. Для квантовых систем Z = Tr e^{-β Ĥ} — след матрицы плотности. Статистическая сумма является производящей функцией для термодинамических потенциалов: свободная энергия Гельмгольца F = -k_B T ln Z, а её производные дают среднюю энергию ⟨E⟩ = -∂ ln Z/∂β, теплоёмкость, энтропию S = k_B (ln Z + β⟨E⟩) и другие величины. В микроканоническом, каноническом и большом каноническом ансамблях определения Z различаются, но все они задают распределение вероятностей состояний.

История

Корни понятия уходят в работы Людвига Больцмана (1870-е гг.), который развивал статистическую трактовку энтропии. Термин «Zustandssumme» (сумма состояний) был предложен Максом Планком. Позднее Джозайя Уиллард Гиббс систематизировал формализм ансамблей и ввёл современное обозначение Z. В квантовой статистической механике метод был расширен Феликсом Блохом и другими в первой половине XX века.

Как работает

Микросостояния системы перечисляются с их энергиями E_i; каждому придаётся вес e^{-E_i/(k_B T)}, убывающий с ростом энергии. Сумма этих весов даёт Z. Все средние термодинамические величины извлекаются дифференцированием логарифма Z по сопряжённым переменным: например, средняя энергия ⟨E⟩ = -∂ ln Z/∂β, где β = 1/(k_B T). В квантовом случае используется оператор Гамильтона Ĥ и след Tr e^{-β Ĥ}, не зависящий от выбора базиса. Вблизи фазовых переходов метод перенормировочной группы опирается на анализ особенностей Z. Распределение вероятностей состояний p_i = e^{-β E_i}/Z напрямую приводит к формуле энтропии Гиббса S = -k_B Σ p_i ln p_i.

Z = \sum_i e^{-\beta E_i}

Z — статистическая сумма, i — индекс микросостояния, E_i — энергия i-го микросостояния, \beta = 1/(k_B T) — обратная температура, k_B ≈ 1,38×10^{-23} Дж/К — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура в кельвинах.

Открытые проблемы и интересные факты

Построение статистической суммы для систем с дальнодействующими корреляциями (например, гравитирующих) сталкивается с проблемой неаддитивности.; Вычисление реалистичных квантовых многочастичных Z экспоненциально сложно из-за «знаковой проблемы» в методах Монте-Карло.; Распространение на неравновесные системы остаётся открытой задачей, особенно для сильно коррелированных сред.

Пока нет статей

статистическая сумма

История

Как работает

История

Как работает

История

Как работает

Открытые проблемы и интересные факты

Статьи по теме