флуктуационно-диссипационная теорематеорема
Теорема была строго сформулирована Гербертом Калленом и Теодором Велтоном в 1951 году на основе квантовой статистической механики. Однако её истоки восходят к работе Альберта Эйнштейна 1905 года о броуновском движении, где он связал подвижность частицы (диссипативный отклик) с её диффузией (флуктуации). Ещё раньше, в 1928 году, Гарри Найквист вывел формулу для шума в резисторах: средний квадрат напряжения ⟨V²⟩ = 4k_B T R Δf, где Δf — полоса частот. Теорема Каллена–Велтона обобщает эту связь на любые системы вблизи равновесия: спектр спонтанных флуктуаций пропорционален мнимой части восприимчивости.
Как работает
В быту: в наушниках слышен тихий шум даже без сигнала — это тепловой шум электронов в проводах, предсказанный теоремой. Чем выше сопротивление динамика, тем громче шипение. Именно поэтому чувствительную аудиотехнику делают из материалов с низким сопротивлением или охлаждают.
💡 Электрический шум поставил предел чувствительности радиоприёмников: даже идеальный усилитель не может быть тише теплового шума, что критично для связи с далёкими космическими аппаратами.
S(\omega) = \frac{\hbar}{\pi} \coth\left(\frac{\hbar\omega}{2k_B T}\right) \operatorname{Im}\chi(\omega)
S(ω) — спектральная плотность флуктуаций наблюдаемой; ω — угловая частота; ħ — редуцированная постоянная Планка (ħ ≈ 1,0546×10⁻³⁴ Дж·с); k_B — постоянная Больцмана (k_B ≈ 1,380649×10⁻²³ Дж/К); T — абсолютная температура; χ(ω) — динамическая восприимчивость (функция отклика); Im — мнимая часть.
\langle V^2 \rangle = 4 k_B T R \Delta f
⟨V²⟩ — средний квадрат шумового напряжения; k_B — постоянная Больцмана (≈ 1,380649×10⁻²³ Дж/К); T — температура; R — электрическое сопротивление; Δf — полоса частот измерения.