مدينةٌ مرسومةٌ على ورقة. الشوارع نفسها، والتقاطعات في أماكنها، لكن المسافات بين الأحياء تغيّرت فجأة. هكذا يبدو الثقب الأسود الثلاثي الأبعاد BTZ في الجاذبية المعدّلة: المقياس (metric) — وهو خريطة المدينة — بقي كما هو، أما الثابت الكوني الذي يحدد المقياس فقد حصل على تصحيحات.

ثقب BTZ هو حلٌّ لمعادلات أينشتاين في زمكانٍ ذي أبعاد 2+1 مع ثابتٍ كوني سالب. لا يحتوي على تفردٍ في الانحناء في مركزه، ولذلك يُعدّ نموذجًا «لعبةً» مثاليًا لاختبار نظريات الجاذبية. أخذ المؤلفون مقياس ثقب BTZ الدوّار ووضعوه في معادلات المجال لنظريتين: الجاذبية ذات معكوس موتر ريتشي (الصنف العام f(R, A, AμνAμν)) وجاذبية f(R). بالنسبة للأولى، كان عليهم حساب معكوس موتر ريتشي — وهو الموتر المضاد للانحناء — وأثره والثابت التربيعي. النتيجة: كلتا النظريتين تقبلان حل BTZ، لكن الثابت الكوني الفعّال يتغيّر.

صيغة الثابت الكوني الفعّال في الجاذبية ذات معكوس موتر ريتشي هي:

\[\Lambda_m = \Lambda - 6\alpha_1 \Lambda^2 - 108\alpha_2 \Lambda^3 + \frac{5\beta_1}{4\Lambda} + \frac{15\beta_2}{8\Lambda^2} + \frac{7\gamma}{8\Lambda^2}.\]

هنا Λ هو الثابت الكوني الأصلي، وα₁، α₂، β₁، β₂، γ هي ثوابت الاقتران. في حدّ انعدام الثوابت، تختزل الصيغة إلى Λ، كما ينبغي. في جاذبية f(R)، تعطي التصحيحات فقط الحدّين مع α₁ وα₂.

ثم قام المؤلفون بتكامل معادلات الجيوديسيا — مسارات الجسيمات الساقطة بحرية — في ثلاث حالات: كتلة وانزياح زاوي غير صفريين، وكتلة وانزياح صفريين، وحالة M = −1، J = 0 (من نمط AdS₃). الحلول معبَّر عنها بدوالّ زائدية وأسية ومثلثية. الجهد الفعّال الذي يحدد الحاجز أمام حركة الجسيم يتغيّر بشكل ملحوظ: عند ثوابت اقتران غير صفرية، قد يختفي الحاجز أو يزاح، مما يغيّر شروط التقاط الجسيمات.

هذا العمل يختبر لأول مرة بقاء الثقب الأسود الثلاثي الأبعاد في نظرية ذات معكوس موتر ريتشي. سابقًا، كان من غير المعروف ما إذا كان فضاء BTZ يبقى حلاًّ في مثل هذه الجاذبية وكيف تتغيّر الجيوديسيا. الآن تبيّن أن المقياس هو حلٌّ فراغي في كلتا النظريتين، لكن مع ثابتٍ كوني معدَّل؛ وحصلنا على صيغ صريحة لمسارات الجسيمات. الطريقة بسيطة: وضعوا المقياس المعروف في معادلات المجال الجديدة، وحسبوا معكوس موتر ريتشي، وكاملوا معادلات الحركة.

بالنسبة للجاذبية الكمومية في أبعاد 2+1، هذا مهم: ثقب BTZ هو نموذج أساسي للهولوغرافيا، وبقاؤه في النظريات المعدّلة يفتح الطريق لاختبار تطابق AdS/CFT خارج النسبية العامة. يمكن استخدام النتائج لاختبار نظريات الجاذبية المعدّلة في النماذج ثلاثية الأبعاد ولبناء ثنائيات هولوغرافية.

خريطة المدينة بقيت كما هي، لكن المسافات تغيّرت. الآن علينا أن نفهم كيف يؤثر ذلك على الثرموديناميكا للثقب الأسود، واستقراره، وخصائصه الكمومية.