يشبه الزمكان أحيانًا ورقة يمكن أن نثقب فيها ثقبًا ونصل الحافتين بأنبوب قصير — فنحصل على ثقب دودي. في أبسط النماذج الرياضية لهذه الثقوب تظهر مجالات قياسية عديمة الكتلة — تشبه ضبابًا غير مرئي يملأ كل شيء حولنا. يتصرف هذا الضباب بغرابة: قيمه تصبح تخيلية. في الفيزياء، الأعداد التخيلية ليست خيالًا بل أداة عمل — مثلما يستخدم المحاسب المبالغ السالبة لتسجيل الديون. لكن هنا تشير التخيلية إلى أننا تجاوزنا حافة الوصف المألوف.
عادةً تُفسَّر هذه المجالات على أنها ثوابت اقتران — كميات تحدد قوة التفاعلات، مثل شدة جذب المغناطيس لمسمار. إذا حركنا هذه الثوابت ذهنيًا نحو القيم التخيلية، تتنبأ النظرية بأن ثقبًا دوديًا سيظهر عند خطوة ما. يؤكد مؤلفو الدراسة: إن إمكانية وجود مثل هذا الثقب تضع حدًا — «حدًا تخيليًا للمدى». إنه مثل شريط مطاطي يمكن مده حتى طول معين فقط، وبعد ذلك يتمزق. هنا لا يتمزق الشريط، بل إمكانية وصف العالم بمعادلات بسيطة.
في بعض الحالات يتطابق هذا الحد مع قيود نظرية معروفة. على سبيل المثال، مع شرط الجاذبية الضعيفة — فكرة أن الجاذبية دائمًا أضعف من القوى الأخرى، مثل أهدأ همسة في غرفة صاخبة. أو مع شرط كونتسفيتش–سيجال–ويتن، الذي يستبعد المقاييس المركبة غير الفيزيائية، مثل مرشح لا يسمح بمرور الأشكال المستحيلة للزمكان. هذا التطابق يلمح إلى أن «حد المدى» قد يكون قاعدة عالمية لأي عالم توجد فيه ثقوب دودية.
الأعداد التخيلية، التي تبدو تجريدًا خالصًا، تصف في ميكانيكا الكم موجات احتمالية حقيقية تمامًا — بدونها لا يمكن حساب أين سيكون الإلكترون في اللحظة التالية.
في رواية «تواصل» لكارل ساجان، يعمل الثقب الدودي كنفق نقل إلى نجم بعيد — لكن لا أحد يناقش ما هي الحظر الرياضية التي قد تجعل مثل هذا النفق مستحيلًا.