لكل نظام كمومي — سواء كان ذرة أو بلورة أو الكون بأسره — مجموعة مسموحة من الطاقات، تشبه درجات سلم. كلما زادت حرارة النظام، زاد ميل الجسيمات لتسلق الدرجات العليا. ابتكر الفيزيائيون طريقة لمقارنة هذين «السلمين» من نظريتين مختلفتين: فقد أدخلوا مسافة بولتزمان-فاسرشتاين — رقمًا يُظهر مدى اختلاف الأطياف الطاقية لعالمين.
لحساب هذه المسافة، يلزم إيجاد جسر خاص بين مجموعتي الطاقات — ثقب دودي في الفضاء المضاعف. ورقتان من الورق عليهما رسوم لسلالم: الثقب الدودي هو طريقة لمطابقة الورقتين بحيث تقع درجات سلم على درجات السلم الآخر بأكثر طريقة اقتصادية. واتضح أن أفضل طريقة هي ببساطة ترتيب الطاقات تصاعديًا وربطها في أزواج، كما لو كنا نرتب مجموعتي أوراق لعب حسب قيمتها. بلغة الجاذبية، يبدو هذا الثقب الدودي كثقبين أسودين متصلين بعنق يمكن من خلاله الانتقال من نظرية إلى أخرى.
عندما تختلف النظريتان فقط باضطراب صغير — على سبيل المثال، أُضيف تفاعل ضعيف — تختزل المسافة إلى متوسط زمني للارتعاش الحراري لهذا الاضطراب. أما إذا كان متوسط الاضطراب صفرًا (لنقل إنه يغير إشارته عند الانعكاس)، فتظهر خاصية أدق في المقدمة — دالة النقاط الأربع، وهي تشبه ارتباط الارتعاشات في لحظات زمنية مختلفة. هذا يذكرنا بقياس ليس فقط ارتفاع الضوضاء، بل «خشونتها».
هذا النهج يربط بشكل غير متوقع مجالات تبدو بعيدة: نظرية النقل الأمثل (كيفية نقل البضائع بأقل تكلفة)، وفيزياء الثقوب السوداء، وميكانيكا الكم. إنه يوفر أداة جديدة للمقارنة الكمية بين النظريات الكمومية المختلفة وقد يلقي الضوء على كيفية نشوء الجاذبية من التأثيرات الكمومية.
مسافة فاسرشتاين، التي قامت عليها هذه الدراسة، صُممت في الأصل لحل مشاكل أرضية تمامًا: كيفية نقل كومة رمل إلى حفرة بنفس الشكل في مكان آخر بأفضل طريقة. في الفيزياء، أصبحت مقياسًا لتشابه الحالات الكمومية.
في رواية غريغ إيغان «سلم شيلد»، ترتبط أكوان مختلفة بقوانين فيزيائية مختلفة عبر ثقوب دودية — والمقياس الجديد قد يقيس مدى اختلافها.