يتحول الماء إلى جليد عند صفر درجة مئوية — فجأة، دون حالات وسيطة. شيء مشابه يحدث للتعقيد عندما نأخذ حالة كمومية عشوائية لنظام كامل وننظر إلى جزء منه فقط. فما دام هذا الجزء يشغل أقل من نصف النظام، ينمو تعقيده بسلاسة. ولكن بمجرد أن تتجاوز النسبة 50%، تحدث قفزة.

سُمي هذا الانتقال "شبيهًا بانتقال بيج" — نسبة إلى منحنى بيج للمعلومات في الثقوب السوداء. ويذهب مؤلفو الدراسة إلى أبعد من ذلك فيشرحون السبب. قبل المنتصف، يُحدَّد التعقيد بطيف الطاقات (مجموعة المستويات المتاحة)، وبعده يُحدَّد بالاختيار المحدد للأساس، أي بالطريقة التي نصف بها الحالات. ففي مدينة صغيرة، كان النظام يُحدد بقوانين عامة، أما في مدينة كبيرة، فيُضاف إلى ذلك أيضًا من يسكن كل منزل.

ثم طُبِّقت الفكرة على ثقب أسود يتبخر في فضاء دي سيتر المضاد، متصل بحمام حراري. وباستخدام نموذج مبسط — دائرة كمومية ذات تطور عشوائي — أظهر الفيزيائيون أن تعقيد الإشعاع يخضع أيضًا لانتقال حاد. في الوصف الهولوغرافي، يرتبط هذا الانتقال بظهور "جزيرة" — منطقة داخل الثقب الأسود تبدأ فجأة في المساهمة في الحجم.

وهكذا تُحل المفارقة الظاهرية: تعقيد الإشعاع لا يضيع، بل يُعاد تنظيمه عندما يتقدم الثقب الأسود في العمر. ومرة أخرى، يتبين أن النصف هو الحد الفاصل — كما هو الحال مع الماء عند صفر درجة مئوية.