لاغرانجيان

التاريخ

طوره جوزيف لويس لاغرانج عام 1788 كطريقة كونية لوصف الحركة، بديلة لقوانين نيوتن.

كيف يعمل

كما ينساب الماء إلى أسفل منحدر متخذًا طريق المقاومة الأقل، تتطور أي منظومة ميكانيكية بحيث تقلل الفرق المتراكم بين الطاقة الحركية والطاقة الكامنة، الذي يحدده اللاغرانجيان.

التاريخ

طوره جوزيف لويس لاغرانج عام 1788 كطريقة كونية لوصف الحركة، بديلة لقوانين نيوتن.

كيف يعمل

كما ينساب الماء إلى أسفل منحدر متخذًا طريق المقاومة الأقل، تتطور أي منظومة ميكانيكية بحيث تقلل الفرق المتراكم بين الطاقة الحركية والطاقة الكامنة، الذي يحدده اللاغرانجيان.

التاريخ

عُرض لأول مرة من قبل جوزيف لويس لاغرانج في ’الميكانيكا التحليلية‘ (1788) بهدف بناء ميكانيكا بدون إنشاءات هندسية. وفي القرن التاسع عشر، أعاد وليم روان هاملتون صياغته في شكلية هاملتون. وطور هنري بوانكاريه نظرية المنظومات الديناميكية. وبرهنت إمي نوتر عام 1918 المبرهنة التي تربط التناظرات المستمرة للاغرانجيان بالكميات المحفوظة. وفي نظرية المجال الكمومي، أصبح اللاغرانجيان أساس النموذج القياسي.

كيف يعمل

بالنسبة لمنظومة ذات إحداثيات معممة q_i، يُكتب اللاغرانجيان كما يلي: L(q, q̇, t) = T − V. وتُستنتج معادلات أويلر-لاغرانج من اشتراط انعدام تغير الفعل. فمثلاً، بالنسبة لجسيم في حقل كموني، L = ½ m ẋ² − V(x). وتنص مبرهنة نوتر على أن: لكل تناظر مستمر للاغرانجيان يقابله تكامل حركة (طاقة، زخم، إلخ).

مسائل مفتوحة وحقائق طريفة

بناء اللاغرانجيان لمنظومات ذات قيود لاهولونومية; تبرير مبدأ الفعل الأدنى في المنظومات غير الهاملتونية; تكميم لاغرانجيات ذات تناظرات معيارية

💡 لاغرانجيان النموذج القياسي للجسيمات الأولية، عند كتابته بصيغة مضغوطة، يتسع لصفحة واحدة، رغم أنه يصف جميع التفاعلات المعروفة باستثناء الجاذبية.