فضاء الطور

# وسم · @ مؤلف · ! عالم

فضاء الطور فضاء متعدد الأبعاد، تمثل محاوره إحداثيات وعزوم جميع جسيمات النظام. لأجل N جسيم، الأبعاد تساوي 6N (ثلاثة إحداثيات وثلاث مركبات للعزم). حالة النظام في أي لحظة تُمثَّل بنقطة فيه. تطور النظام يرسم مساراً يخضع لمعادلات هاملتون. حجم الطور محفوظ (مُبرهنة ليوفيل)، مما يهم في الفيزياء الإحصائية. الجاذبات هي مجموعات جاذبة (نقاط توازن، دورات حدية، جاذبات غريبة في الأنظمة الفوضوية) تؤول إليها المسارات.

التاريخ

في القرن التاسع عشر، أعاد ويليام هاملتون صياغة الميكانيكا بلغة الإحداثيات والعزوم. واستخدم هنري بوانكاريه أول مرة صور الطور لتحليل استقرار النظام الشمسي. ثم طبق لودفيغ بولتزمان هذا المنهج على الغازات، رابطاً الأنتروبيا بحجم الطور.

كيف يعمل

للبندول البسيط، فضاء الطور مستوٍ. دون احتكاك، المسار حلقة مغلقة. مع الاحتكاك، لولب يتقلص نحو المركز: يخبو البندول. بدفعة قوية، قد ينقلب البندول فيهرب المسار إلى اللانهاية. هكذا بصورة طور واحدة تتنبأ بكل حركة ممكنة.

💡 فضاء طور الكون بأكمله يحوي عدداً هائلاً من الأبعاد، لكن حجمه محدود من جراء التأثيرات الكمومية؛ الأمر الذي يُربط بأنتروبيا الثقوب السوداء.

فضاء الطور متشعب تماسكي، يُوسم بالإحداثيات المعممة q_i والعزوم المقترنة p_i. أبعاده 2n حيث n عدد درجات الحرية. الديناميك تحدده دالة هاملتون H(q,p,t) عبر المعادلات القانونية: dq_i/dt = ∂H/∂p_i, dp_i/dt = -∂H/∂q_i. مُبرهنة ليوفيل تقضي بحفظ حجم الطور: ∂ρ/∂t + {ρ, H} = 0. في الميكانيكا الإحصائية، يُوصف التوازن بتوزيعاتٍ مجهرية وقانونية وقانونية كبرى. النظير الكمومي فضاء هيلبرت؛ النهاية شبه الكلاسيكية تربط بينهما. فضاء الطور أداة رئيسة في نظرية النظم الديناميكية: الجاذبات، التشعبات، الفوضى.

التاريخ

تعود صياغة فضاء الطور إلى هاملتون (1833) وياكوبي. بوانكاريه (تسعينيات القرن 19) أدخل المنظور الهندسي، واكتشف نقاطاً هوموكلينية — نُذر الفوضى. بولتزمان (1872) طبقه على الغازات وقدم التعريف الإحصائي للأنتروبيا S = k ln W، حيث W عدد الحالات المجهرية.

كيف يعمل

في الميكانيكا الكلاسيكية، تُعيَّن الحالة بنقطة (q,p). معادلات هاملتون تولد انسياباً يحفظ البنية التماسكية. النتيجة مُبرهنة ليوفيل: حجم الطور ثابت على طول المسارات. في النظم المبددة، يتقلص الحجم. في الميكانيكا الكمومية، النظير معادلة ليوفيل-فون نيومان لمصفوفة الكثافة. التحولات الطورية تُوصف في فضاء الطور الترموديناميكي.

\frac{dq_i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \frac{dp_i}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q_i}

q_i — إحداثيات معممة، p_i — عزوم مقترنة، H — دالة هاملتون (الطاقة الكلية للنظام)

\frac{d\rho}{dt} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \{\rho, H\} = 0

ρ — كثافة الاحتمال في فضاء الطور، {·,·} — أقواس بواسون، H — الهاملتونيان

S = k_B \ln \Gamma

S — الأنتروبيا، k_B — ثابت بولتزمان (k_B ≈ 1.38×10⁻²³ جول/كلفن)، Γ — حجم الطور (عدد الحالات المجهرية المتاحة)

مسائل مفتوحة وحقائق طريفة

نشأة سهم الزمن عبر فك الترابط في فضاء الطور; البحث عن حلول تحليلية للنظم غير القابلة للتكامل والبلياردوات; ربط حجم فضاء الطور الكلي بنماذج كونية

💡 ترتبط أنتروبيا النظام بحجم فضاء الطور المتاح: S = k ln Γ. للثقب الأسود، الأنتروبيا متناسبة مع مساحة أفق الحدث لا مع الحجم، مما يشير إلى المبدأ الهولوغرافي.

لا مقالات بعد

فضاء الطور

التاريخ

كيف يعمل

التاريخ

كيف يعمل

التاريخ

كيف يعمل

مسائل مفتوحة وحقائق طريفة

مقالات ذات صلة