مبدأ الفعل الأصغرمبدأ
في العصور القديمة، لاحظ هيرون الإسكندري أن الضوء ينعكس بزوايا متساوية، وكأنه يسعى لسلوك أقصر طريق. في عام 1744، صاغ بيير لويس موبيرتيوس مبدأً عامًا: الطبيعة دائمًا ما تعمل بأكثر الطرق اقتصادًا. طور ليونارد أويلر وجوزيف-لويس لاغرانج الرياضيات: للأنظمة الميكانيكية، توجد دالة لاغرانج L (الفرق بين الطاقة الحركية والطاقة الكامنة)، وتكاملها عبر الزمن — الفعل S — يجب أن يكون أدنى عند المسار الحقيقي. أعاد ويليام هاملتون صياغة الميكانيكا من خلال الفعل، وأظهرت إيمي نويثر أن من ثبات (عدم تغير) الفعل بالنسبة للتحويلات تنبثق قوانين الحفظ — الطاقة، الزخم، الشحنة. اليوم، يُعد مبدأ الفعل الأصغر أساس الفيزياء النظرية بأكملها.
كيف يعمل
يُفسر هذا المبدأ لماذا تطير الكرة المقذوفة في مسار قطع مكافئ: القطع المكافئ هو المسار ذو الفعل الأصغر. إنه يعمل في كل مكان: من حركة الكواكب إلى تبعثر الجسيمات الأولية.
💡 باستخدام هذا المبدأ، تُستنتج معادلات ماكسويل للكهرومغناطيسية ومعادلة شرودنغر في ميكانيكا الكم.
S = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) \, dt
S — الفعل (تابعي على المسارات)، L — اللاغرانجيان (دالة الإحداثيات q، السرعات \dot{q} والزمن t، وعادةً ما يكون الفرق بين الطاقة الحركية والطاقة الكامنة)، t_1, t_2 — اللحظتان الابتدائية والنهائية.
\delta S = 0
δ — التغاير، δS = 0 تعني أن الفعل يأخذ قيمة متطرفة (عادةً دنيا) على المسار الحقيقي.
\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0
q — إحداثي معمم، \dot{q} — مشتقته الزمنية، L — اللاغرانجيان. تصف هذه المعادلة تطور المنظومة مع الزمن.