L'orchestre se met à jouer à l'unisson, mais un chef d'orchestre caché change une seconde la direction de son geste. Ainsi du système qui tend vers l'équilibre : soudain, il fait un pas en arrière.
Dans les processus markoviens, où l'avenir ne dépend que du présent, la distance à l'équilibre, mesurée par l'entropie relative, décroît de façon monotone, comme le sable dans un sablier. Mais si le système garde en mémoire son histoire, cette flèche du temps peut vaciller. On avait déjà remarqué ces résurrections de l'entropie, sans comprendre quel mécanisme minimal les provoquait.
L'auteur a construit les modèles les plus simples, à deux et trois états, avec un noyau de mémoire exponentiel. Il est apparu que lorsque le temps de mémoire est comparable au temps de relaxation, le générateur effectif acquiert des éléments non diagonaux négatifs. Cela signifie la perte de la divisibilité stochastique : l'évolution ne peut plus être découpée en étapes markoviennes successives. La démonstration classique de la monotonie cesse alors de fonctionner, et l'entropie relative peut temporairement augmenter : c'est le dépassement.
Dans le modèle à deux états, le dépassement se manifeste par un régime transitoire oscillant, dont l'amplitude croît avec le temps de mémoire. Dans le modèle à trois états, les diagrammes de phase séparent nettement les régimes, et la frontière correspond à l'estimation γ ~ λ. Cela confirme que le dépassement d'entropie est une conséquence robuste de la perte de divisibilité, et non un artefact de conditions initiales particulières.
L'orchestre joue de nouveau à l'unisson. Mais il est désormais clair que cette brève hésitation n'était pas un hasard : c'était l'œuvre de la mémoire, qui a ramené un instant le système vers son passé.
Dans le cas markovien, l'entropie relative joue le rôle d'une fonction de Lyapunov, garantissant une approche irréversible de l'équilibre. La perte de divisibilité signifie que l'évolution ne peut être découpée en étapes markoviennes successives, et la flèche du temps habituelle peut alors, pendant un court instant, s'inverser.