Dans une grande ville, après la pluie, l'eau s'accumule dans les mêmes creux, peu importe où tombent les premières gouttes. Une heure plus tard, la configuration des flaques ne dépend presque plus de l'endroit où la pluie a commencé. C'est cela, l'équilibre : le résultat auquel le système aboutit indépendamment du point de départ, une fois les détails oubliés.
En mathématiques, de telles situations sont décrites par le formalisme thermodynamique, un ensemble de règles pour les systèmes où il y a une mémoire du passé, mais qui s'efface progressivement. Prenons un jeu de cartes que l'on bat selon une règle stricte, mais avec une infime part de hasard dans les mouvements des mains. Après de nombreux mélanges, l'ordre des cartes devient prévisible en moyenne, bien qu'il soit impossible de deviner la séquence exacte. Les scientifiques appellent cela la mesure de Gibbs : elle indique la probabilité de chaque configuration à l'état de repos.
Les auteurs de ce nouveau travail ont pris cinq des définitions les plus courantes d'une telle mesure — via les règles locales de remplacement d'un état par un autre, via les grandes déviations par rapport au comportement typique, via les vecteurs propres d'un opérateur particulier, via le principe de moindre énergie, et via la bonne vieille construction « cylindrique ». Et ils ont prouvé que toutes donnent exactement le même objet. De plus, ils l'ont fait avec des nombres explicites : à quelle vitesse tout converge, quelle est l'erreur si l'on modifie légèrement la température du système.
L'utilité pratique réside dans les garanties. Lorsqu'un ingénieur modélise la turbulence dans un moteur ou qu'un biologiste compte les mutations dans une population, il peut prendre l'une des cinq définitions, celle qui est la plus pratique pour les calculs, et être sûr que le résultat ne s'effondrera pas. De plus, le travail fournit des estimations de la vitesse d'oubli des conditions initiales — c'est la clé pour prédire à quelle vitesse le système se calmera après une perturbation. Et ce n'est que la première partie d'un grand cycle de six articles sur le chaos et l'ordre. Ainsi, nous revenons aux flaques après la pluie : il est désormais clair que les mathématiques peuvent non seulement décrire leur apparition inévitable dans les creux, mais aussi dire au bout de combien de minutes la configuration deviendra stable.
La méthode utilisée dans la preuve — la contraction dans le cône de Birkhoff — vient de la géométrie. Si l'on regarde un lampadaire à travers un cône de papier étroit, tout ce qui se trouve à l'intérieur semble plus proche du centre. De même ici : l'opérateur « contracte » l'espace des probabilités vers un unique état d'équilibre.
Dans le roman « Fondation » d'Isaac Asimov, la psychohistoire prédit le comportement de grandes masses de personnes en s'appuyant sur des lois statistiques. La mesure de Gibbs est le fondement mathématique d'une telle science : elle dit vers où la société se dirigera en moyenne, même si chaque individu est imprévisible.