Une poignée d'allumettes tombe sur la table. Chacune repose au hasard, mais imaginons-la transformée en flèche — d'une extrémité à l'autre. Posons alors la question : peut-on aller d'un point à un autre en ne suivant que le sens des flèches ? Un groupe de points où l'on peut atteindre n'importe quel point depuis n'importe quel autre s'appelle un cluster fortement connecté. Les auteurs de l'étude ont calculé comment ces clusters apparaissent dans des réseaux de différentes dimensions — du treillis plan au cube à sept dimensions.
Il s'avère que tant que la dimension est inférieure à six, la forme des clusters est complexe. Leur « irrégularité » interne (dimension fractale) diffère de celle de l'espace lui-même. C'est comme si un écheveau de fil dans une pièce tridimensionnelle avait sa propre mesure d'enchevêtrement, non égale à trois. Mais à partir de six dimensions, tout se simplifie : les clusters deviennent « lisses », obéissant aux mêmes lois que dans un réseau où chaque point est connecté à chaque autre. Cependant, dans un tel réseau complet, une surprise apparaît. Les grands clusters croissent selon un scénario, et les petits selon un autre, comme si dans une foule se formaient d'abord des micro-groupes, puis fusionnaient en un cortège géant.
Ces résultats montrent que même dans un monde multidimensionnel, où l'intuition défaille, les clusters fortement connectés restent des objets fractals nets. Et la transition vers un comportement simple en haute dimension s'accompagne de réorganisations inattendues dans la statistique des tailles. Comme si, en agrandissant la pièce, changeait non seulement la forme de l'écheveau, mais aussi la manière même dont les fils s'emmêlent.
Dans un réseau entièrement connecté (où chaque nœud est relié à chaque autre), les petits clusters fortement connectés se comportent comme s'ils vivaient dans un monde à part avec ses propres règles : leur distribution de tailles suit une loi de puissance avec un exposant de 1, et non de 4 comme pour les grands.
Dans le roman de Stanislas Lem « La Voix du Maître », des mathématiciens étudient un signal aléatoire, cherchant à en extraire des structures signifiantes — un peu comme ici, dans un réseau orienté aléatoirement, on cherche des îlots de connectivité directionnelle.