dimension fractale

Le ciel nocturne semble être un semis aléatoire d'étoiles. Mais si on l'observe sur de très grandes distances, le chaos disparaît. Les galaxies se rassemblent en de longs filaments et de vastes murs, et entre eux s'ouvrent d'immenses vides — les vides cosmiques. Cette structure est appelée la toile cosmique.

Baissez la lumière. Sur scène, un théâtre d'ombres où il n'y a que r marionnettistes — mais l'écran obéit aux lois de la courbure de l'espace-temps hyperbolique. Chaque geste de la main engendre un motif que les mathématiciens appellent un groupe discret d'isométries.

Une poignée d'allumettes tombe sur la table. Chacune repose au hasard, mais imaginons-la transformée en flèche — d'une extrémité à l'autre. Posons alors la question : peut-on aller d'un point à un autre en ne suivant que le sens des flèches ? Un groupe de points où l'on peut atteindre n'importe quel point depuis n'importe quel autre s'appelle un cluster fortement connecté.

Une ville où les rues ne sont pas droites mais sinueuses, avec des impasses et des passages cachés. Un livreur à vélo mettra beaucoup plus de temps à livrer un colis que dans une ville au quadrillage régulier. Il en va de même pour les molécules dans un tissu vivant : leur trajet dépend du degré d'« enchevêtrement » de la structure du tissu.

L'analyse par fluorescence X classique fonctionne comme un recenseur méticuleux : pour connaître la composition d'un tableau, il parcourt chaque centimètre carré et note dans son registre s'il y a du plomb ou du cuivre. Pour une feuille plane, cela reste supportable, mais pour un objet en volume, c'est une épreuve.

À la surface d'un film mince d'oxyde de bismuth-fer, on distingue de fines stries régulières, comme les sillons d'un champ labouré. Ce qui se trame en dessous était jusqu'ici un mystère.

La vessie ressemble à un ballon de baudruche : pendant qu'elle se remplit, la paroi s'étire et la forme change. Les médecins surveillent généralement la pression interne et la quantité de liquide introduite, mais ils prêtent rarement attention à la géométrie elle-même, c'est-à-dire à la manière dont la surface se courbe.

Si vous versez une poignée de perles colorées sur le sol, elles se répartiront différemment : certaines formeront des tas, d'autres rouleront dans les coins. C'est à peu près ainsi que les galaxies de différentes couleurs – bleues, vertes et rouges – sont dispersées dans l'Univers.

Dans les nuages sombres de gaz interstellaire où naissent les étoiles, la matière se rassemble en nœuds denses – les futurs berceaux des astres. Les astronomes mesurent les distances entre ces nœuds à partir de photographies du ciel, mais une photographie est plate, alors que le nuage est en volume. Convertir le plan en volume n'est pas aussi simple qu'il y paraît.