Фрактал, похожий на бабочку, хранит в себе порядок, который не виден с первого взгляда. В квантовом мире одномерных квазикристаллов, описываемых моделью Комото, спектр энергий образует причудливую фигуру: бабочку Комото. Долгое время её не удавалось полностью раскрасить — каждой щели в спектре нужно было приписать целое число, топологический индекс, но стандартные инструменты отказывали из-за разрывного потенциала. Числа Черна, привычные для гладких систем, здесь просто не определены.
Генеалогия квазипериодичности — вот ключ, который предлагают авторы. Они строят бесконечное направленное дерево, каждая вершина которого соответствует спектральной полосе или щели в периодическом приближении квазипериодического оператора. Это дерево растёт из цифр цепной дроби иррационального числа, задающего квазипериодичность. Прослеживая пути в этом дереве, можно однозначно приписать индекс каждой щели: для каждой вершины вычисляется матрица Q, и по её определителю находится целое число. Неоднозначность, которая раньше допускала сдвиг на величину знаменателя приближения, исчезает.
Результат впечатляет: фазовая диаграмма полностью раскрашена. Каждой щели в спектре теперь приписан однозначный целочисленный индекс, и порядок этих индексов следует структуре дерева. В отличие от бабочки Хофштадтера, дополнение бабочки Комото состоит из одной связной компоненты, поэтому индексы не привязаны к изолированным областям. Красные фазы могут обрываться без непрерывного закрытия щели — поведение, которое противоречит интуиции из гладких моделей. Это строгое математическое доказательство, а не численный эксперимент.
Практическая польза уже видна. Экспериментаторы, создающие квазикристаллы в фотонных решётках или ультрахолодных атомных системах, теперь могут точно предсказать, в какой конечной системе появится нужный топологический индекс. Метод спектральных деревьев открывает путь к классификации и других квазипериодических моделей, а также к строгому доказательству эквивалентности между бабочками Комото и Хофштадтера. Вопрос о полной топологической классификации всех квазипериодических операторов остаётся открытым, но эта работа — важный шаг вперёд.
Бабочка Комото — это фрактал, который можно раскрасить в бесконечное число цветов, причём каждый цвет соответствует целому числу. При этом отрицательные индексы соответствуют более широким щелям, чем положительные с тем же модулем.