Ковариационная матрица — это матрица, которая описывает дисперсию и ковариацию нескольких переменных.Ковариационная матрица — это квадратная матрица, которая обобщает, как несколько переменных изменяются совместно. Каждый диагональный элемент дает дисперсию отдельной переменной — насколько она разбросана вокруг своего среднего значения, — в то время как каждый внедиагональный элемент дает ковариацию между двумя переменными, указывая, имеют ли они тенденцию увеличиваться или уменьшаться вместе. Для набора из n переменных матрица имеет размер n×n и является симметричной, поскольку ковариация между переменными A и B такая же, как и между B и A.
Концепция ковариации была формализована Карлом Пирсоном в конце XIX века, а матричная форма стала стандартной в многомерной статистике в XX веке.
Чтобы построить матрицу, вычисляют среднее значение произведения отклонений от средних для каждой пары переменных. Если две переменные движутся в одном направлении, их ковариация положительна; если в противоположных — отрицательна; если они не связаны — близка к нулю. Матрица компактно кодирует все попарные взаимосвязи, а ее собственные значения и собственные векторы выявляют главные направления изменчивости в данных — основу метода главных компонент.
Она используется в машинном обучении для снижения размерности, в финансах для оценки риска портфеля, а в физике — для анализа коррелированных измерений в экспериментах.
Ковариационная матрица многомерного нормального распределения полностью определяет форму и ориентацию его вероятностного облака — от сферы до вытянутого эллипсоида.
