В 1953 году математик Александр Гротендик доказал теорему, которая стала краеугольным камнем в теории тензорных произведений. Она утверждает, что для обычных пространств функций две естественные нормы — проективная и инъективная — эквивалентны с точностью до универсальной константы. Иными словами, два способа измерять «размер» комбинаций векторов дают близкие результаты.
Шли десятилетия, и математики попытались перенести эту идею на более тонкий мир операторных пространств — структур, где у векторов появляется нечто вроде «матричной градуировки». Здесь теорема Гротендика не работает. В 2023 году нашли явный контрпример, но его связь с реальностью оставалась загадкой — пока за дело не взялись квантовые игры.
Авторы новой работы перевели задачу о цене такой игры на язык операторных пространств. Бессигнальная цена — то, чего игроки могут достичь, используя любые корреляции, но без обмена сигналами, — оказалась в точности равной одной из тензорных норм. И тут выяснилось удивительное: тот самый контрпример к теореме Гротендика для операторных пространств — это просто конкретная квантовая игра с большим разрывом между бессигнальной и квантовой ценами. Чистая математика и квантовая информация заговорили на одном языке.
Это не изящное совпадение. Авторы получили новые верхние оценки для разрыва между бессигнальной и квантовой ценой — то есть показали, насколько сильнее могут быть корреляции без сигналов по сравнению с теми, что допускает квантовая механика. Оценки улучшают всё, что было известно ранее, и открывают путь к более глубокому пониманию границ квантовых корреляций.
Теорема Гротендика, доказанная в 1953 году, изначально касалась банаховых пространств и не имела никакого отношения к квантовой физике. Связь с квантовыми корреляциями обнаружили лишь полвека спустя — и до сих пор она приносит сюрпризы.