Оператор, измеряющий некоммутативность двух квантовых операторов, в данном случае — скалярного поля.В квантовой механике коммутатор двух операторов A и B определяется как [A, B] = AB - BA. Он показывает, насколько важен порядок выполнения операций. Если коммутатор равен нулю, операторы коммутируют, что означает, что соответствующие физические величины могут быть измерены одновременно с произвольной точностью. Если он не равен нулю, операторы не коммутируют, что приводит к фундаментальным соотношениям неопределённости — наиболее известное из них между координатой и импульсом. В контексте скалярного поля коммутатор оператора поля в двух различных точках пространства-времени кодирует причинную структуру теории: если точки разделены пространственноподобным интервалом, коммутатор обращается в нуль, что гарантирует отсутствие влияния измерений в одной точке на другую, сохраняя принципы теории относительности.
Концепция коммутатора в квантовой механике была введена Максом Борном и Паскуалем Йорданом в 1925 году, а позже формализована Полем Дираком. Расширение на квантовые поля было разработано в конце 1920-х и в 1930-х годах Вернером Гейзенбергом, Вольфгангом Паули и другими.
Для скалярного поля φ(x) коммутатор [φ(x), φ(y)] — это не просто число, а оператор. Его среднее значение по вакуумному состоянию даёт функцию, которая равна нулю, когда x и y разделены пространственноподобным интервалом, и отлична от нуля, когда они разделены времениподобным или светоподобным интервалом. Это свойство выводится из уравнений движения поля и канонических перестановочных соотношений, налагаемых в совпадающие моменты времени. Коммутатор, по сути, показывает, как возмущение поля в одной точке распространяется в другую: если точки причинно связаны, коммутатор не равен нулю, отражая возможность влияния; если нет — он в точности равен нулю, обеспечивая локальность.
Коммутаторы играют фундаментальную роль в квантовой теории поля, где они используются для вывода пропагатора Фейнмана, который описывает движение и взаимодействие частиц. Они также лежат в основе принципа неопределённости, который важен для понимания квантовых измерений и пределов точности в таких технологиях, как квантовая криптография.
Обращение коммутатора в нуль для пространственноподобных интервалов настолько важно, что его часто называют условием «микропричинности», и это одно из немногих строгих ограничений, которым должна удовлетворять любая релятивистская квантовополевая теория.
| ρ | переменная | матрица плотности открытой квантовой системы — матрица плотности |
| t | переменная | время — время с |
| H | переменная | гамильтониан системы — гамильтониан Дж |
| L_n | переменная | операторы Линдблада (операторы перехода) для каждого канала диссипации — lindblad operator |
| i | константа | мнимая единица, квадратный корень из -1 — мнимая единица = 1 |
| ħ | константа | постоянная Планка, делённая на 2π — приведённая постоянная Планка = 1.054571817e-34 Дж·с |
| d/dt | оператор | производная по времени — производная по времени |
| [H, ρ] | оператор | коммутатор H и ρ — коммутатор |
| {L_n† L_n, ρ} | оператор | антикоммутатор L_n† L_n и ρ — anticommutator |
| ∑_n | оператор | сумма по всем каналам диссипации — sum over channels |
| H_eff | переменная | эффективный статический гамильтониан — гамильтониан Дж |
| H_0 | переменная | усреднённый по времени гамильтониан — гамильтониан Дж |
| H_{-1} | переменная | первая отрицательная компонента Фурье гамильтониана — гамильтониан Дж |
| H_{+1} | переменная | первая положительная компонента Фурье гамильтониана — гамильтониан Дж |
| frequency | переменная | частота управления — угловая частота рад/с |
| [ , ] | оператор | измеряет некоммутативность двух операторов — коммутатор |
