оператор следа — из анатомии формулОператор следа — это математическая функция, которая принимает квадратную матрицу и возвращает сумму её диагональных элементов. В физике он постоянно встречается в квантовой механике и статистической механике, где даёт способ вычислять средние значения и вероятности из матриц плотности. След инвариантен относительно смены базиса, то есть отражает внутренние свойства линейного отображения, а не особенности конкретной системы координат.
Понятие следа восходит к XIX веку, с ранними применениями в теории матриц такими математиками, как Артур Кэли и Джеймс Джозеф Сильвестр. Его систематическое применение в физике развилось вместе с развитием квантовой механики в 1920-х годах.
Для матрицы A с элементами A_ij след определяется как tr(A) = Σ_i A_ii. Эта простая сумма обладает мощными свойствами: tr(AB) = tr(BA) для любых двух матриц (даже если AB и BA могут различаться), и tr(UAU⁻¹) = tr(A) для любой обратимой матрицы U. В квантовой механике среднее значение наблюдаемой O в состоянии, описываемом матрицей плотности ρ, равно ⟨O⟩ = tr(ρO), а след самой ρ всегда равен 1 для нормированного состояния.
Оператор следа необходим в квантовых вычислениях для моделирования квантовых схем, в физике конденсированного состояния для вычисления статистических сумм, а также в машинном обучении для факторизации матриц и регуляризации.
След матрицы равен сумме её собственных значений с учётом кратности, поэтому он появляется в характеристическом многочлене и в определении определителя.
| U | переменная | Первая унитарная матрица — unitary matrix |
| V | переменная | Вторая унитарная матрица — unitary matrix |
| N | переменная | Размерность гильбертова пространства — размерность |
| Tr | оператор | Сумма диагональных элементов матрицы — оператор следа |
| † | оператор | Сопряжённо-транспонированная матрица — hermitian conjugate |
| | | | оператор | Модуль комплексного числа — абсолютная величина |
| ρ | переменная | матрица плотности первого квантового состояния — density operator |
| σ | переменная | матрица плотности второго квантового состояния — density operator |
| tr | оператор | суммирует диагональные элементы оператора в любом базисе — оператор следа |
| log | оператор | вычисляет операторный логарифм, определяемый через спектральное разложение — matrix logarithm |
| S | переменная | энтропия фон Неймана — энтропия Дж/К |
| ρ | переменная | матрица плотности квантового состояния — матрица плотности |
| tr | оператор | суммирует диагональные элементы матрицы — оператор следа |
| ln | оператор | вычисляет натуральный логарифм — натуральный логарифм |
| A | переменная | Оператор, для которого берётся математическое ожидание — operator |
| ρ | переменная | Матрица плотности (квантовое состояние) — матрица плотности |
| Tr | оператор | Вычисляет сумму диагональных элементов матрицы — оператор следа |
| F | переменная | Квантовая точность между состояниями — точность |
| ρ | переменная | Матрица плотности первого квантового состояния — матрица плотности |
| σ | переменная | Матрица плотности второго квантового состояния — матрица плотности |
| Tr | оператор | Сумма диагональных элементов матрицы — оператор следа |
| √ | оператор | Главный квадратный корень из положительно определённой матрицы — matrix square root |
Статей пока нет