группа

# тег · @ автор · ! учёный

Группа в математике — множество объектов (чисел, симметрий) с операцией их соединения (сложение, последовательное выполнение преобразований). При этом соединение любых двух объектов даёт объект из того же множества, порядок соединения не влияет на итог (ассоциативность), есть нейтральный элемент, не меняющий результат, и для каждого элемента существует обратный. Например, целые числа со сложением — группа, потому что сумма целых — целое, ноль нейтрален, а для 5 обратным служит −5. Вращения треугольника тоже образуют группу. Группы классифицируют по свойствам: абелевы (коммутативные) и неабелевы, конечные и бесконечные, простые и разрешимые.

История

Эварист Галуа в 1830-х годах ввёл группы, чтобы понять, почему одни алгебраические уравнения решаются в радикалах, а другие нет. Позже Анри Пуанкаре и Эмми Нётер применили группы для описания симметрий природы.

Как работает

Рассмотрим вращения квадрата вокруг центра на углы 0°, 90°, 180° и 270°. Последовательное выполнение двух вращений снова даёт вращение из этого набора (замкнутость). Порядок выполнения не влияет на финальное положение (ассоциативность). Поворот на 0° служит нейтральным элементом. Каждый поворот обратим: 90° и 270° обратны друг другу. Операция композиции поворотов превращает это множество в группу.

💡 Все возможные перестановки колоды из 52 карт образуют группу, содержащую 52! (факториал 52) элементов — число с 68 знаками, намного превышающее количество атомов в наблюдаемой Вселенной.

Группа — это набор объектов с правилом их соединения. Должны выполняться четыре условия: результат соединения двух объектов остаётся в наборе (замкнутость); расстановка скобок не важна (ассоциативность); существует нейтральный объект, который при соединении ничего не меняет (как ноль для сложения); для каждого объекта найдётся обратный, который вместе с ним даёт нейтральный (как противоположное число). Целые числа со сложением — пример группы: сумма целых — целое, ноль нейтрален, а −5 обратен 5.

История

Как работает

💡 Классификация конечных простых групп — одна из величайших математических программ XX века. Самая большая спорадическая простая группа, Монстр, содержит около 8·10⁵³ элементов, а её минимальная степень точного представления связана с j-инвариантом, что породило гипотезу чудовищного вздора, связывающую теорию групп и модулярные формы.

Группа — алгебраическая структура (множество G с бинарной операцией *), удовлетворяющая трём аксиомам: для любых a, b, c ∈ G выполняется (a*b)*c = a*(b*c) (ассоциативность); существует e ∈ G, такой что e*a = a*e = a для всех a (единичный элемент); для любого a ∈ G найдётся a⁻¹ ∈ G, при котором a*a⁻¹ = a⁻¹*a = e (обратный элемент). Группы служат языком симметрий в геометрии, физике частиц и криптографии.

История

Истоки понятия группы лежат в работах Лагранжа и Гаусса, но решающий вклад внёс Эварист Галуа (1830), применивший группы к разрешимости алгебраических уравнений. Артур Кэли дал первое абстрактное определение. Феликс Клейн связал группы с геометрией в Эрлангенской программе. Анри Пуанкаре использовал группы в топологии, а Эмми Нётер доказала теорему, связывающую непрерывные симметрии с законами сохранения в физике.

Как работает

Изучение группы опирается на её действие на множествах, например, вращения правильных многоугольников или перестановки координат. Важными инструментами являются подгруппы, гомоморфизмы, ядра и факторгруппы. В физике группы Ли (непрерывные группы) описывают симметрии пространства-времени и калибровочные симметрии, а теорема Нётер утверждает соответствие между каждой непрерывной симметрией и сохраняющейся величиной.

(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \quad \quad e \cdot a = a \cdot e = a \quad \quad a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e

a, b, c — элементы группы, e — единичный элемент, a^{-1} — обратный элемент

Открытые проблемы и интересные факты

Классификация конечных простых групп (завершена, но чрезвычайно сложна); Понимание всех представлений групп Ли; Алгоритмическая сложность вычислений в группах (проблема слов, изоморфизма)

Пока нет статей

группа

История

Как работает

История

Как работает

История

Как работает

Открытые проблемы и интересные факты

Статьи по теме