معادلات نافييه-ستوكسمعادلة
جمع المهندس الفرنسي كلود-لوي نافييه (1821) والفيزيائي البريطاني جورج ستوكس (1845) في منظومة واحدة معادلات تعبر عن حفظ الكتلة وكمية الحركة في مائع لزج. معادلة كمية الحركة: ρ (∂v/∂t + v·∇v) = -∇p + μ ∇²v + f. الطرف الأيسر هو الكتلة مضروبة في التسارع (بما في ذلك النقل الحملي)، والأيمن قوى الضغط والاحتكاك اللزج والتأثيرات الخارجية. ويضاف إليها شرط عدم الانضغاط ∇·v = 0. ويكمن عبقرية هذه المعادلات في أخذها للاحتكاك الداخلي (الحد الذي يحتوي اللزوجة μ) بعين الاعتبار.
كيف يعمل
يستخدمها المهندسون لحساب كيفية جريان الهواء حول سيارة، ويستخدمها خبراء الأرصاد للتنبؤ بحركة الأعاصير. اللزوجة (مقاومة الجريان) تهدئ التدفق، أما إذا كانت اللزوجة صغيرة فينشأ الاضطراب - وهو اختلاط عشوائي.
💡 أعلن معهد كلاي للرياضيات جائزة قدرها مليون دولار لإثبات أن حلول المعادلات موجودة دائمًا ولا 'تنفجر' (تظل سلسة) في الحالة ثلاثية الأبعاد - وهذه إحدى مسائل الألفية.
\rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}
ρ — كثافة المائع، ∂v/∂t — التسارع المحلي، v·∇v — التسارع الحملي، ∇p — مدروج الضغط، μ — اللزوجة الديناميكية، ∇²v — لابلاسيان السرعة (التبدد اللزج)، f — القوى الحجمية الخارجية (مثل قوة الجاذبية)
\nabla \cdot \mathbf{v} = 0
∇·v — تباعد متجه السرعة؛ يساوي الصفر من أجل مائع غير قابل للانضغاط، مما يعني انعدام المصادر والمصارف