دالة التقسيم

التاريخ

أدخل المفهوم في أواخر القرن التاسع عشر الفيزيائي النمساوي لودفيغ بولتزمان أثناء تأسيسه الميكانيكا الإحصائية.

كيف يعمل

لحساب الخواص الترموديناميكية، تُعدَّد أولاً جميع الحالات المجهرية الممكنة للنظام (مواضع وسرعات الجسيمات). يُسند لكل منها وزن يتناقص أسياً مع الطاقة: e^(-E/(k_B T)). مجموع الأوزان يعطي دالة التقسيم Z. يرتبط لوغاريتم Z مباشرة بالطاقة الحرة، ومشتقاته بالنسبة للحرارة أو الحجم تعطي متوسط الطاقة والضغط والأنتروبيا — أي كل المقادير المألوفة التي تقاس في التجربة.

التاريخ

أدخل المفهوم في أواخر القرن التاسع عشر الفيزيائي النمساوي لودفيغ بولتزمان أثناء تأسيسه الميكانيكا الإحصائية.

كيف يعمل

لحساب الخواص الترموديناميكية، تُعدَّد أولاً جميع الحالات المجهرية الممكنة للنظام (مواضع وسرعات الجسيمات). يُسند لكل منها وزن يتناقص أسياً مع الطاقة: e^(-E/(k_B T)). مجموع الأوزان يعطي دالة التقسيم Z. يرتبط لوغاريتم Z مباشرة بالطاقة الحرة، ومشتقاته بالنسبة للحرارة أو الحجم تعطي متوسط الطاقة والضغط والأنتروبيا — أي كل المقادير المألوفة التي تقاس في التجربة.

التاريخ

تمتد جذور المفهوم إلى أعمال لودفيغ بولتزمان (سبعينيات 1870) حين طور التفسير الإحصائي للأنتروبيا. مصطلح 'Zustandssumme' (مجموع الحالات) اقترحه ماكس بلانك. فيما بعد، نظّم جوزايا ويلارد غيبس شكلية المجموعات وأدخل الرمز الحديث Z. في الميكانيكا الإحصائية الكمومية، وُسعت الطريقة على يد فيليكس بلوخ وآخرين في النصف الأول من القرن العشرين.

كيف يعمل

تُسرد الحالات المجهرية للنظام مع طاقاتها E_i؛ تعطى كل منها وزناً e^{-E_i/(k_B T)} يتناقص بازدياد الطاقة. مجموع هذه الأوزان يعطي Z. تستخلص جميع المقادير الترموديناميكية المتوسطة بمفاضلة لوغاريتم Z بالنسبة للمتغيرات المقترنة: مثلاً، متوسط الطاقة ⟨E⟩ = -∂ ln Z/∂β، حيث β = 1/(k_B T). في الحالة الكمومية، يُستخدم مؤثر هاملتون Ĥ والأثر Tr e^{-β Ĥ} الذي لا يعتمد على اختيار الأساس. قرب التحولات الطورية، تعتمد طريقة مجموعة إعادة التطبيع على تحليل شذوذات Z. توزع احتمالات الحالات p_i = e^{-β E_i}/Z يؤدي مباشرة إلى صيغة أنتروبيا غيبس S = -k_B Σ p_i ln p_i.

مسائل مفتوحة وحقائق طريفة

بناء دالة تقسيم لنظم ذات ارتباطات بعيدة المدى (مثال: النظم المتجاذبة) يصطدم بمشكلة عدم الجمعية.; حساب دالة تقسيم كمومية واقعية متعددة الجسيمات بالغ التعقيد أُسياً بسبب 'مشكلة الإشارة' في طرائق مونتي كارلو.; تعميم المفهوم على النظم غير المتوازنة يبقى مسألة مفتوحة، ولا سيما في الأوساط المترابطة بقوة.

💡 لغاز بوز المثالي عند درجات حرارة دون الحرجة، يؤدي التعويض البسيط للمجموع بتكامل على الطاقة إلى تباعد، لأنه لا يراعي الامتلاء العياني للحالة الأساسية. لذا، عند وصف تكاثف بوز-أينشتاين، تُفصل مركبة المتكاثف صراحة.